Абсолютные и относительные погрешности.

Абсолютная (предельная) погрешность определяет интервал, в котором лежит точное значение величины.

Пусть А – точное значение величины (оно нам неизвестно). а – приближенное значение величины (известно). За абсолютную погрешность Δ принимается минимальное число Δа, удовлетворяющее условию: Δ≥|А-а|.

При статических измерениях погрешность Δа задается с определенной достоверностью, т.е. вероятность события |А-а|≤ Δа больше определенной величины γ: P(|A-a|≤ Δa)≥ γ≤1

Перепишем определение: а- Δа≤А≤а+ Δа; точное значение А лежит в заданном интервале.

Для оценки качества измерений вводится относительная погрешность

Заданные величины Δа и δа позволяют записать точное значение А в символическом виде: А=а(1± δа)

Невязка — это ошибка (погрешность) в результате вычислений. Пусть мы хотим найти x

Подставляя усреднённое значение x₀ вместо x, получаем невязку

в этом случае ошибка равна

Если мы не знаем точного значения x, мы не можем вычислить ошибку, но мы можем вычислить невязку.

Интервал неопределенности корня. Если функция  непрерывна, то найдется такая малая окрестность  корня , имеющая радиус , в которой выполнено неравенство . Это означает, что знак вычисленного значения , вообще говоря не обязан совпадать со знаком и, следовательно, становится невозможным определить, какое именно значение из интервала обращает функцию в нуль. Этот интервал называется интервалом неопределенности корня. Очевидно, что радиус интервала неопределенности для простого корня равен

Определение 4.7 Оценка погрешности, которая находится до решения задачи, называется априорной.

Такую оценку дает теорема о погрешности.

Определение 4.8 Оценка погрешности, которая находится после решения задачи, называется апостериорной.

Эту оценку дает правило Рунге.

РУНГЕ ПРАВИЛО

- один пз методов оценки погрешности формул численного интегрирования. Пусть - остаточный член формулы численного интегрирования, где h - длина отрезка интегрирования или какой-то его части, k - фиксированное число и М - произведение постоянной на производную подинтегральной функции порядка k-1 в какой-то точке промежутка интегрирования. Если J - точное значение интеграла, а I - его приближенное значение, то

Согласно Р. п. вычисляется тот же самый интеграл по той же формуле численного интегрирования, но вместо hберется величина h/2. При этом, чтобы получить значение интеграла по всему отрезку, формула интегрирования применяется дважды. Если производная, входящая в М, меняется не сильно на рассматриваемом промежутке, то

где I₁ - значение интеграла, вычисленное по h/2.

14.Одномерная минимизация. Глобальный и локальный минимум (максимум). Простейшие подходы к решению задач минимизации. Метод деления пополам. Априорные и апостериорные оценки погрешности, скорость сходимости.

Минимизация – оптимизация некоторой характеристики f(x), f(x) – целевая функция. Если варьируется один скалярный вектор x, возникает одномерная минимизация.

Глобальный и локальный минимум (минимумы функций на всей длине и на отрезке соответственно)

Унимодальная функция (функция, у которой тока 1 минимум, парабола например, и притом этот минимум может быть на концах графика)

Большинство задач минимизации осуществляет лишь поиск локального минимума через систему нелинейных уравнений.

Метод деления пополам

Определение 4.7 Оценка погрешности, которая находится до решения задачи, называется априорной.

Такую оценку дает теорема о погрешности.

Определение 4.8 Оценка погрешности, которая находится после решения задачи, называется апостериорной.

Эту оценку дает правило Рунге.

РУНГЕ ПРАВИЛО

- один пз методов оценки погрешности формул численного интегрирования. Пусть - остаточный член формулы численного интегрирования, где h - длина отрезка интегрирования или какой-то его части, k - фиксированное число и М - произведение постоянной на производную подинтегральной функции порядка k-1 в какой-то точке промежутка интегрирования. Если J - точное значение интеграла, а I - его приближенное значение, то

Согласно Р. п. вычисляется тот же самый интеграл по той же формуле численного интегрирования, но вместо hберется величина h/2. При этом, чтобы получить значение интеграла по всему отрезку, формула интегрирования применяется дважды. Если производная, входящая в М, меняется не сильно на рассматриваемом промежутке, то

где I₁ - значение интеграла, вычисленное по h/2.