В общем случае это неравенство можно представить в виде:
,
(2.4)
где
и
– некоторые числа, значения которых
определяются методом уточнения корня.
От значений q
и
зависит насколько с каждым шагом
уменьшается погрешность приближенных
значений и, соответственно, насколько
быстро можно получить приближенное
значение с заданной точностью. Главным
показателем скорости сходимости метода
является значение ,
называемое порядком сходимости
Метод бисекции (он же дихотомии и половинного деления)
Считаем,
что отделение корней уравнения (2.1)
проведено и на отрезке
расположен один корень, который необходимо
уточнить с погрешностью .
В качестве начального приближения корня
принимаем середину этого отрезка:
(рис. 2.5). Затем исследуем значение функции
на концах отрезков
и
.
Тот из отрезков, на концах которого
принимает значения разных знаков,
содержит искомый корень; поэтому его
принимаем в качестве нового отрезка
(на рис. 2.5 это отрезок
).
Вторую половину отрезка
,
на которой
не меняет знак, отбрасываем. В качестве
следующего приближения корня принимаем
середину нового отрезка
и т.д. Таким образом, k-е
приближение вычисляется как
После
каждой итерации отрезок, на котором
расположен корень, уменьшается вдвое,
а после k итераций в
раз: 
Критерий
окончания итерационного
процесса:
если длина отрезка локализации меньше
2
,
то итерации прекращают и в качестве
значения корня с заданной точностью
принимают середину отрезка.
Теорема
о сходимости метода бисекций.
Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и на
концах принимает значения разных знаков
.Тогда
метод сходится и справедлива оценка
погрешности :
Метод простых итераций
Для применения метода простой
итерации следует исходное уравнение
преобразовать
к виду, удобному для итерации
.
Это преобразование можно выполнить
различными способами. Функция
называется
итерационной функцией. Расчетная формула
метода простой итерации имеет вид:
.
Теорема
о сходимости метода простой итерации.
Пусть в некоторой
-
окрестности корня
функция
дифференцируема
и удовлетворяет неравенству
,
где
-
постоянная . Тогда независимо от выбора
начального приближения из указанной
-
окрестности итерационная последовательность
не выходит из этой окрестности, метод
сходится
со
скоростью геометрической последовательности
и справедлива оценка погрешности:
,
.
Критерий окончания итерационного
процесса. При заданной точности
>0
вычисления следует вести до тех пор
пока не окажется выполненным неравенство
.
Если величина
,
то можно использовать более простой
критерий окончания итераций:
(x
с чертой – решение в какой либо
окрестности, 0<=q<1)
(априорная)
Графически:
В начале рассмотрим графически
процесс получения приближений в методе
простых итераций (рис. 2.11). При решении
уравнения (2.21) необходимо отыскать точку
пересечения кривой
и прямой
.
На рисунке 2.11, (а) изображена некоторая
кривая
,
которая может представлять собой любую
функцию, но сейчас для нас важно то
обстоятельство, что производная этой
функции в окрестности корня положительна
и меньше 1. Пусть
– корень уравнения, который, естественно,
предполагается неизвестным. Выберем
начальное приближение в точке
.
Следующее приближении
,
в соответствии с (2.22), будет равно
.
Для того, чтобы отобразить
на графике можно провести через точку
прямую, параллельную оси OX,
до пересечения с прямой
,
а затем в точке пересечения этих прямых
опустить перпендикуляр на ось OX,
который и отметит положение точки
.
Аналогично получаются все последующие
приближения.
Метод Ньютона (метод касательных) . Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:
Геометрически
Пусть нам известно начальное
приближение к корню
(вопрос выбора начального приближение
будет подробно рассмотрен ниже). Проведем
в этой точке касательную к кривой
(рис. 2.8). Эта касательная пересечет ось
абсцисс в точке
,
которую будем рассматривать в качестве
следующего приближения
Теорема о
сходимости метода Ньютона. Пусть
-
простой корень уравнения
,
в некоторой окрестности которого функция
дважды непрерывно дифференцируема.
Тогда найдется такая малая
-
окрестность корня
,
что при произвольном выборе начального
приближения
из
этой окрестности итерационная
последовательность метода Ньютона не
выходит за пределы окрестности и
справедлива оценка
,
где
,
.
Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство .
Метод сечений (вроде второе название метод хорд, но не точно)
Расчетная формула
Тут я опишу для метода хорд (вроде тоже самое, честно хз, расчетные формулы похожи)
Графически
Рассматриваемый метод так же,
как и метод половинного деления,
предназначен для уточнения корня на
интервале
,
на концах которого функция
принимает значения разных знаков.
Очередное приближение в отличие от
метода половинного деления берем не в
середине отрезка, а в точке
,
где пересекает ось абсцисс прямая линия
(хорда), проведенная через точки А
и В (рис. 2.6).
Критерий окончания
