5.2.2. Силы инерции в поступательном движении твердого тела

Силы инерции в этом случае приводятся к равнодействующей, приложенной в центре масс  (рис. 5.2). Эта равнодействующая равна                       (5.5) где – вектор ускорения центра масс, равный в этом движении ускорению любой точки тела; – масса тела.

 

5.2.3. Силы инерции во вращательном движении твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии

 

1. Ось вращения  (рис. 5.3) проходит через центр масс  перпендикулярно плоскости симметрии.

В этом случае силы инерции приводятся к результирующей паре сил, момент которой ,                 (5.6) где  – момент инерции твердого тела относительно оси вращения;  – угловое ускорение. Знак “минус” в формуле (5.6) означает, что направление вращения  противоположно направлению дуговой стрелки  (рис. 5.3). В случае равномерного вращения, когда , . 2. Ось вращения перпендикулярна плоскости симметрии тела, но не проходит через центр масс  (рис. 5.4). Приводя силы инерции к центру , на оси вращения получим главный вектор  и главный момент  инерционных сил, которые определяются следующими формулами:

;               (5.7) , где  – масса тела;  – момент инерции тела относительно оси вращения;  – вектор ускорения центра масс;  – угловое ускорение;  – угловая скорость тела. В случае равномерного вращения    силы инерции приводятся к равнодействующей, которая направлена на оси  от  к  (рис. 5.4), ее модуль равен главному вектору: .

 5.2.4. Силы инерции в плоскопараллельном движении твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии

 

Рассмотрим случай, когда твердое тело движется в плоскости , параллельной плоскости симметрии тела (рис. 5.5).

Приводя силы инерции к центру масс , получим главный вектор

 и главный момент  

(обозначения в этих формулах аналогичны рассмотренным выше:

– ускорение центра масс ;  – угловое ускорение тела.

32. Принцип Даламбера для точки системы. Метод кинетостатики.

Р ассмотрим движение материальной точки под действием некоторых активных сил и сил реакций связей. Введем обозначения (рис. 17.1):  равнодействующая активных сил, приложенных к точке,  равнодействующая реакций связей. Силой инерции материальной точки (обозначается )  называется сила, равная по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленная в сторону противоположную ускорению. То есть . Реально эта сила не приложена к материальной точке, а есть равнодействующая сил, с которыми данная точка действует на взаимодействующие с ней тела.

 

Принцип Д’Аламбера для точки: Если в фиксированный момент движения, кроме действующих на точку сил, добавить силу инерции, то система сил будет уравновешенной.

 

Доказательство эквивалентности принципа второму закону Ньютона. Из основного уравнения динамики путем тождественных преобразований находим

  .

 

 

 

Принцип Д’Аламбера для механической системы. Если в фиксированный момент времени к каждой точке механической системы, кроме действующих сил, добавить силы инерции, то система сил будет уравновешенной.

 

Доказательство. Силы, приложенные к каждой точке системы, разделим на внешние и внутренние. Тогда, принцип Д’Аламбера для каждой точки (рис. 17.2) запишется в виде , .

 

Принципу Д’Аламбера для механической системы можно придать другую математическую форму. Суммируя полученные выражения, находим

 

,

а умножая векторно слева на радиус-векторы точек системы и снова выполняя суммирование находим:

.

С учетом свойства внутренних сил имеем

, ,

где  главный вектор внешних сил,  главный вектор сил инерции.  главный момент внешних сил системы,  главный момент сил инерции.

 

Полученные уравнения по форме совпадают с условиями равновесия статики. В общем случае они позволяют получить шесть скалярных равенств (равенства нулю сумм проекций сил, включая силы инерции, на каждую из координатных осей и равенства нулю сумм моментов сил относительно координатных осей).

 

Метод решения задач динамики, основанный на применении принципа Д'Аламбера, носит название метода кинетостатики.