24. Теорема об изменении кинетической энергии точки и системы в трех формах.

Если рассмотреть какую-нибудь точку системы с мас­сой , имеющую скорость , то для этой точки будет

,

где и - элементарные работы действующих на точку внеш­них и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, получим

,

или

. (2)

Равенство выражает теорему об изменении кине­тической энергии системы в дифференциальной форме.

Если полученное выражение отнести к элементарному промежутку времени, в течение которого произошло рассматриваемое перемещение, можно получить вторую формулировку для дифференциальной формы теоремы: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех внешних ( ) и внутренних ( ) сил, т.е.

.

Дифференциальными формами теоремы об изменении кинетической энергии можно воспользоваться для составления дифференциальных уравнений движения, но это делается достаточно редко, потому что есть более удобные приемы.

Проинтегрировав обе части равенства (2) в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна , в положение, где значение кинетической энергии становится равным , будем иметь

.

Полученное уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом пере­мещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

25. Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоско - параллельного движений твердого тела.

Дифференциальные ур-ния поступательного движения твердого тела:  и т.д. – проекция внешней силы. Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. Для осуществления поступательного движения необходимо, чтобы главный момент всех внешних сил относительно центра масс был равен 0:  =0.

Вращательное движение твёрдого тела.

Рассмотрим приложения общих теорем динамики к некоторым задачам о движении абсолютно твёрдого тела. Так как изучение поступательного движения твёрдого тела сводится к задачам динамики точки, то мы начнём непосредственно с рассмотрения вращательного движения.

Рис. 55

 

Пусть на твёрдое тело, имеющее неподвижную ось вращения Z (рис.55), действует система заданных сил , ,... . Одновременно на тело действуют реакции подшипников и . Чтобы исключить из уравнения движения эти наперед неизвестные силы, воспользуемся теоремой моментов относительно оси Z. Так как моменты сил и относительно оси Z равны нулю, то получим:

;

.

Будем в дальнейшем величину называть вращающим моментом.

Подставляя в предыдущее равенство значение , найдём:

или .

Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела. Из него следует, что произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно вращающему моменту:

.

Равенство показывает, что при данном чем больше момент инерции тела, тем меньше угловое ускорение и наоборот. Следовательно, момент инерции тела действительно играет при вращательном движении такую же роль, как масса при поступательном, т.е. является мерой инертности тела при вращательном движении.

Отметим следующие частные случаи:

1) Если , то , т.е. тело вращается равномерно.

2) Если , то и , т.е. тело вращается равнопеременно.

Плоскопараллельное движение твердого тела.

Положение тела, совершающего, плоскопараллельное движение, определяется в любой момент времени положением полюса и углом поворота тела вокруг полюса. Задачи динамики будут решаться проще всего, если за полюс взять центр масс С тела (рис.58) и определять положение тела координатами X_C, Y_C и углом .

 

Рис.58

 

На рис.58 изображено сечение тела плоскостью, параллельной плоскости движения и проходящей через центр масс С. Пусть на тело действуют внешние силы , ,... , лежащие в плоскости этого сечения. Тогда уравнения движения точки С найдём по теореме о движении центра масс

,

а вращательное движение вокруг центра С будет определятся уравнением

,

т.к. теорема, из которой получено это уравнение, справедливо и для движения системы вокруг центра масс. В результате, проектируя обе части равенства на координатные оси, получим:

, , ,

, ,

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела. С их помощью можно по заданным силам определить закон движения тела или, зная закон движения тела, найти главный вектор и главный момент действующих сил.

При несвободном движении, когда траектория центра масс известна, уравнения движения точки С удобно составлять в проекциях на касательную и главную нормаль n к этой траектории. Тогда получим:

, , ,

где - радиус кривизны траектории центра масс.

 

Пример 16. Однородный круглый цилиндр скатывается по наклонной плоскости (рис.59). Цилиндр совершает плоскопараллельное движение.

Рис.59

 

Так как и, значит, составим дифференциальное уравнение вращения относительно оси проходящей через мгновенный центр скоростей.

Момент инерции цилиндра относительно оси

Поэтому уравнение получится таким или

Знак (–) указывает на направление углового ускорения – по часовой стрелке.

Обратим внимание на то, что реакции не вошли в уравнение.

Чтобы определить реакцию , составим еще одно дифференциальное уравнение вращения, относительно центральной оси С :

Отсюда

Конечно, . Чтобы тело катилось без скольжения должно выполняться условие или Поэтому коэффициент трения скольжения должен удовлетворять условию