![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Понятие множества. Операции над множествами и их свойства.
- •2. Свойства десятичных преставлений рациональных чисел. Множество действительных чисел.
- •3. Множество действительных чисел. Абсолютная величина числа и ее свойства.
- •4. Границы числовых множеств. Свойства точных границ.
- •5. Понятие функции. График функции. Композиция функций. Обратимость функции.
- •График функции
- •Композиция функций.
- •Обратимость функции
- •6. Основные элементарные функции. Классификация функций.
- •7. Окрестности. Свойства окрестностей.
- •Свойства окрестностей.
- •8. Предельная точка множества. Основное определение предела функции.
- •Основное определение предела (определение 0 )
- •9. Предел функции. Общие свойства предела (св.1 – св.3).
- •Свойства предела :
- •10. Предел функции. Связь между пределами функции на множестве и на его частях.
- •11. Ограниченная функция. Ограниченность функции при .
- •12. Предел последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
- •13. Связь между пределом функции и пределом последовательности. Доказательство отсутствия предела.
- •14. Бесконечно-малые функции и их свойства.
12. Предел последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
1) Число p
называется пределом последовательности
Xn при
,
если
2) p
называется пределом последовательности
Последовательность является сходящейся, если она имеет конечный предел.
Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Пусть Xn – сходящаяся последовательность.
При n>N : A < Xn < B
a: min {x1, x2 … A }
b: max {x1,x2 .. Xn, B}
– последовательность является
ограниченной по определению.
13. Связь между пределом функции и пределом последовательности. Доказательство отсутствия предела.
Теорема. Связь между пределом функции и пределом последовательности.
Для того,
чтобы существовал предел функции при
равный p необходимо и
достаточно, чтобы для любой последовательности
при любом выборе
Для доказательства отсутствия пределов часто применяются следствия к пределу сложной функции.
1 следствие.
Если существует предел
,
то для
такого, что
,
и
= p, тогда
= p
2
следствие. Если
,
то для любой последовательности
при любом выборе
.
Пример:
Допустим,
докажем, что предел
не существует.
Возьмем
= 0
А теперь
возьмем
= 1
Для различных
последовательностей при
получаем разные
=> общего предела не существует.
14. Бесконечно-малые функции и их свойства.