- •1. Понятие множества. Операции над множествами и их свойства.
- •2. Свойства десятичных преставлений рациональных чисел. Множество действительных чисел.
- •3. Множество действительных чисел. Абсолютная величина числа и ее свойства.
- •4. Границы числовых множеств. Свойства точных границ.
- •5. Понятие функции. График функции. Композиция функций. Обратимость функции.
- •График функции
- •Композиция функций.
- •Обратимость функции
- •6. Основные элементарные функции. Классификация функций.
- •7. Окрестности. Свойства окрестностей.
- •Свойства окрестностей.
- •8. Предельная точка множества. Основное определение предела функции.
- •Основное определение предела (определение 0 )
- •9. Предел функции. Общие свойства предела (св.1 – св.3).
- •Свойства предела :
- •10. Предел функции. Связь между пределами функции на множестве и на его частях.
- •11. Ограниченная функция. Ограниченность функции при .
- •12. Предел последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
- •13. Связь между пределом функции и пределом последовательности. Доказательство отсутствия предела.
- •14. Бесконечно-малые функции и их свойства.
7. Окрестности. Свойства окрестностей.
ε-окрестностью точки называется интервал вида ( ε, ε ) = ( , ε>0
Окрестностью точки называется любое множество, содержащее некоторую ε-окрестность этой точки.
ε-окрестностью точки называется интервал вида (ε,
[ (ε, +
Свойства окрестностей.
1) Любая окрестность точки содержит эту точку
2) пересечение двух окрестностей точки снова является окрестностью этой точки.
Доказательство:
Рассмотрим любу точку
По определению окрестности существует и
– содержащая точку
3) Свойство отделимости. Если и – произвольные действительные числа и различны => существует окрестность U( ) такие, что пересечение этих двух окрестностей – не окрестность какой-либо U( ) =
Доказательство:
и - два различных конечных числа. Пусть < => существует a такое, что:
Возьмем множество U( с правым концом a и U(
Их пересечение будет пусто множество.
8. Предельная точка множества. Основное определение предела функции.
Рассмотрим множество
Точка a называется предельной для множества У, если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка из E
Теорема. Если – предельная для Е точка, то в любой ее окрестности содержится бесконечное количество точек из Е.
Доказательство: пусть – предельная для Е точка. Рассмотрим некоторую окрестность U( )
Предположим, что в U( ) содержится конечное число точек из E – x1 , x2 , x3 … xk
По свойству 3 окрестностей, существует u1(x0) x1, u2(x0) x2, u3(x0) x3, … uk(x0) xk.
Получается, что пересечение этих окрестностей – снова окрестность xo, не содержащее ни одну их точек x1.. xk. То есть, xo не является предельной для множества К.
Получаем противоречие – теорема доказана. Множество предельных для Е точек будем обозначать Е1
Основное определение предела (определение 0 )
Число p R называется пределом функции f(x) при x , если значение функции становится как угодно близким к p лишь только x ( из области определения ) становится как угодно близким к
9. Предел функции. Общие свойства предела (св.1 – св.3).
Определение предела 1
Пусть есть функция F: x Y,
P называется пределом функции f(x) при x на множестве Е, если для любой окрестности p существует окрестность точки , что как только х попадает в эту окрестность (проколотую ) - , как значение функции попадает в окрестность точки p.
– проколотая окрестность = U( )\ { }
Свойства предела :
1)
2) Если существует предел функции, то он единственный. Доказательство:
(1) и (2)
(1) =>
(2) =>
Тогда для
f(x) => не может быть, так как эти две окрестности не пересекаются.
3) Пусть
Тогда существование предела и равенству этих трех пределов.
10. Предел функции. Связь между пределами функции на множестве и на его частях.
Определение 2.
= p
Число называется пределом функции f(x) при на множестве Е, если :
Пользуясь определением 2 можно дать определение предела через неравенства для конкретных .
, если
Например для p = , :
, если
Связь между пределами функции на множестве и его частях
Пусть
Тогда существование предела и равенству этих трех пределов.
11. Ограниченная функция. Ограниченность функции при .
1) называется ограниченной сверху ( снизу, просто ограниченной ), если множество ее значений ограничено сверху ( снизу , просто ограничено ).
2) Функция f(x) называется ограниченной сверху ( снизу, вообще на Е ) при , если в которой функция ограничена сверху ( снизу, на части )
Ограниченность функции при
Если то функция ограничена при
Доказательство:
P =