14. Квантовомеханические операторы, их свойства, собственные значения и собственные функции.

Оператор координаты является оператором умножения на эту координату: . Например

Оператор проекции импульса на оси декартовой системы координат:

; ;

Например:

Оператор полного импульса:

Оператор Гамильтона может быть получен как оператор импульса. В классической физике функцией Гамильтона называется полная энергия системы, выраженная через обобщение координаты и обобщение импульса:

, где U(r) – потенциальная энергия

Оператор Гамильтона:

Оператор момента импульса частицы:

Операторы момента импульса:

В квантовой физике величины характеризуются не числовыми значениями, а оператором. Оператор – правило, по которому каждой функции из некоторого пространства L ставится в соответствие функция из того же пространства.

В общем случае . Если выполняется условие , то операторы и называются коммутирующими, а запись называется коммутатором операторов и .

Если , то операторы и называются антикоммутирующими, и запись

Собственные функции и собственные значения линейных операторов.

Если результатом действия оператора на функцию u является та же функция, умноженная на число λ, то число λ называется собственным значением оператора , а функция u – собственной функцией .

Собственные функции в квантовой теории должны удовлетворять условиям непрерывности, конечности, гладкости, однозначности. Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Именно собственные значения обнаруживаются в эксперименте.

15. Условие одновременной измеримости различных динамических переменных. Соотношение неопределенностей.

Условие одновременной измеримости различных динамических переменных:

Необходимым и достаточным условием этого является коммутативность соответствующих операторов, то есть коммутатор этих операторов должен быть равен нулю. Например, коммутатор операторов и :

Соотношение неопределённостей Гейзенберга:

В 1927 г. В.Гейзенберг открыл так называемые соотношения неопределенностей, в соответствии с которыми неопределенности координаты и импульса связаны между собой соотношением: , где  , h постоянная Планка. Своеобразие описания микромира в том, что произведение неопределенности (точности определения) положения Δx и неопределенности (точности определения) импульса Δp_x всегда должно быть равно или больше константы, равной –   . Из этого следует, что уменьшение одной из этих величин должно приводить к увеличению другой. Хорошо известно, что любое измерение сопряжено с определенными ошибками и совершенствуя приборы измерения, можно уменьшать погрешности, т. е. повышать точность измерения. Но Гейзенберг показал, что существуют сопряженные (дополнительные) характеристики микрочастицы, точное одновременное измерение которых, принципиально невозможно. Т.е. неопределенность – свойство самого состояния, оно не связано с точностью прибора.

Для других сопряженных величин – энергии E и времени t соотношения неопределенностей, имеет вид: . Это означает, что при характерном времени эволюции системы Δt , погрешность определения ее энергии не может быть меньше чем  . Из этого соотношения следует возможность возникновения из ничего, так называемых, виртуальных частиц на промежуток времени меньший, чем   и обладающих энергией ΔE. При этом закон сохранения энергии не будет нарушен. Поэтому по современным представлениям вакуум это не пустота, в которой отсутствуют поля и частицы, а физическая сущность, в которой постоянно возникают и исчезают виртуальные частицы.Одним из основных принципов квантовой механики является принцип неопределенностей, открытый Гейзенбергом. Получение информации об одних величинах, описывающих микрообъект, неизбежно ведет к уменьшению информации о других величинах, дополнительных к первым. Приборы, регистрирующие величины, связанные соотношениями неопределенности, разного типа, они дополнительны друг к другу. Под измерением в квантовой механике подразумевается всякий процесс взаимодействия между классическим и квантовыми объектами, происходящий помимо и независимо от какого-либо наблюдателя. Если в классической физике измерение не возмущало сам объект, то в квантовой механике каждое измерение разрушает объект, уничтожая его волновую функцию. Для нового измерения объект нужно готовить заново. В этой связи Н. Бор выдвинул принцип дополнительности, суть которого в том, что для полного описания объектов микромира необходимо использование, двух противоположных, но дополняющих друг друга представлений.