Дифференциал и дифференцируемость функции.

Опр.1. Функция y=f(x): v(x₀)R называется дифференцируемой в точке х₀ , если ее приращение в этой точке y=f(x₀+x)-f(x₀).

x=x-x₀, представимо в виде:

y=A x+(x)x, (1)

где А- некоторая const, не зависящая от x , а (х)0 при х0.

Опр.2. Главная линейная часть приращения функции относительно х называется дифференциалом функции f в точке х₀ и обозначается df(x₀) или, короче, dy=Ax. Таким образом,

y=dy+0(x) при х0 (2).

Т.к.

Для большей симметрии записи дифференциала приращение х обозначают dх и и называют его дифференциалом независимого переменного. Таким образом, dy=Adx.

Пример 1. Доказать, что функция y=x²-x+3 диффенцируема

на R.

Решение: возьмем хR, дадим ей приращение х, тогда

у=f(x+x)-f(x)=(x+x)²-(x+x)+3-(x²-x+3)=x²+2xx+(x)²-x-x+3-x²+x-3= (2x-1)x+(x)²

где (х)²=0(х), т.к. =х0 при х0.

Т.о. у=Ах+0(х), где А=2х-1, т.е. у представимо в виде (1) в хR.

Теорема: Для того, чтобы функция y=f(x):U(x₀)R была дифференцируемой в точке х₀ она имела производную в х₀, при этом dy=f ^/(x₀)dx.

Пример 2. Доказать, что функция не дифференцируема в точке =0.

Решение: Имеем

т.е. в точке =0 не дифференцируема.

Пример 3. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближенное значение

Решение: рассмотрим функцию ,тогда

- есть значение данной функции при х=0,15

Пусть х₀=0, х=0,15. Тогда у(0)=1.

Из (2) видно, что y=dy, a dy=f ^/x ,т.е.

yf ^/(x)x, y=f(x+x)-f(x) .

Отсюда f(x+x)f(x)+f ^/(x)x . В нашем. случае x=0,

x+x=0,15; f(0,15)f(0)+f ^/(0) 0,15.

Определим

Производные высших порядков, ряд Тейлора.

Если функция f:ХR, xR,дифференцируема в xX,то на множестве X возникает функция f  :XR,значение которой в точке xX равно производной f  (x).Если же функция f  :XR имеет производную (f ):XR на множестве x,то (f )(x) называется второй производной функции f(x) и обозначается f (x) или . Если f (x) имеет производную (f (x)),то эта производная называется третьей производной функции f(x) или производной третьего порядка функции f(x) и обозначаются одним из символов f (x), f ⁽³⁾(x),

Производная n-го порядка является производной от производной

(n-1) порядка, т.е.

f ⁽ⁿ⁾=(f ^(n-1))^/ (x)

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются у^//,у^///,у⁽⁴⁾,…у⁽ⁿ⁾,

Производные n-го порядка некоторых элементарных функций:

1. ( ^x)⁽ⁿ⁾= ^xlnⁿx ( )

2. (sinx)⁽ⁿ⁾=

3. (x^m)⁽ⁿ⁾=m(m-1)…(m-n+1)x^m-n

4. (e^x)⁽ⁿ⁾=e^x

5. (cosx)⁽ⁿ⁾=

6. (lnx)⁽ⁿ⁾=

Если функции u=(x) и v=(x) имеют производные n-го порядка (n- кратно дифференцируемы),

(1)

Пример 1: Вычислить n-ю производную (n2) функции y=x²cosx .

Решение: полагая u=cosx и v=x², найдем

u⁽ⁿ⁾=cos(x+nπ/2), v^'=2x, v^''=2,v^''''=v⁽⁴⁾=…=0.

Подставляя в формулу (1), получаем

y⁽ⁿ⁾=c⁰_ncos(x+nπ /2)x²+c¹_ncos(x+(n-1) π/2)2x+c²_ncos(x+(n-2) π/2)2

Формула (1) называется формулой Лейбница.

Опр. Функция у называется заданной параметрически, если зависимость между у и х задана системой уравнений

,tT

П роизводные этой функции могут быть найдены по формулам:

Пример 2. Найти производные от функции y=y(x) , заданной параметрически если x=acost, y=asint

Решение:

Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в точке а и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть х-любое значение аргумента из указанной окрестности, х=а. Тогда между точками а и х найдется точка  такая, что справедлива следующая формула:

Частный, простейший вид формулы Тейлора при а=0 принято называть формулой Маклорена:

Пример 3. Разложить в ряд Тейлора функции у=1/х при а=-2.

Решение: вычисляем значения данной функции и ее производных при х=а=-2

Подставляя эти значения в формулу Тейлора для произвольной функции, получим