2. Аксиоматика информатики

Первая аксиома. Для сложных систем управления, состоящих из различных подсистем.

К каждому элементу управляющей подсистемы идет исходный информационный поток от датчиков (рис2.1), равный

, (2. 4.)

где N – количество сигналов, исходящих от наблюдателя;

Э _С= Э_ОУЭ_Д – энтропия этих сигналов ( ).

Вторая аксиома. Информационная напряженность каждого элемента управляющей системы определяется информационным воздействием на него датчика (исходным информационным потоком) с учетом энтропии данного элемента:

; (2. 5.)

где Э _j – энтропия j –го элемента УС;

j = 1, m;

m – число элементов в УС.

При этом энтропия любого элемента управляющей системы является показателем его способности к творчеству:

если Э _j =1 – элемент управляющей системы воспринимает, ретранслирует команды и не вырабатывает собственной информации;

если Э _j =0 – элемент управляющей системы полностью осуществляет самостоятельное управление ОУ независимо от датчика;

если Э _j =0,5 – элемент управляющей системы в два раза усиливает направленный на него информационный поток.

Третья аксиома. Информационная напряженность всей управляющей системы равна сумме напряженности всех ее элементов, включая датчика:

_, (2. 6.)

Четвертая аксиома. Устанавливает зависимость между полным информационным потоком I_полн, воздействующим на ОУ за период его перехода в новое целевое состояние, информационной напряженностью объекта Q и энергией E, затрачиваемой объектом управления на переход в новое состояние. Энергия, необходимая для перевода ОУ в новое целевое состояние, равна разности между информационной напряженностью УС и ее полным информационным потоком:

E = Q – I_полн (2. 7.)

Пятая аксиома. Полный информационный поток I_полн соответствует полезной работе управляющей системы за период перехода объекта в новое целевое состояние.

Шестая аксиома. Работа управляющей подсистемы A состоит из двух частей:

А= b + c, (2. 8.)

где b – внутренняя работа управляющей системы, затраченная на компенсацию ее исходной энтропии;

c – внешняя работа, направленная на ОУ, т.е. информационная отдача УС.

Чем выше исходная энтропия, тем большую внутреннюю работу должна осуществлять управляющая система.

3. Виды и свойства информации

Свойств любых объектов можно разделить на два больших класса:

Внутренние – характеризующие свойства самого объекта, например, невидимость электромагнитного поля;

Внешние – это свойства объекта, характеризующие его поведение при взаимодействии с другими объектами, например, при взаимодействии электромагнитного поля с проводниками возможно появление в проводниках ЭДС или электрического тока.

Подобное разделение можно провести и для информации. С точки зрения потребителя можно выделить три группы внешних свойств информации:

Качество информации – обобщенная характеристика, отражающая степень полезности ее для пользователя.

Научность информации – логическая закономерность однозначно соответствующая закономерностям природы, общества, мышлению.

Адекватность информации – свойство информации однозначно соответствовать отображаемому объекту или явлению.

В свою очередь качество информации оценивается совокупностью критериев, которые характеризуют отдельные свойства информации:

• релевантность – способность информации соответствовать нуждам (запросам) потребителя;

• полнота – свойства информации исчерпывающе описывать отображаемый объект или процесс;

• достоверность - свойства информации не иметь ошибок;

• защищенность - свойства информации, характеризующее невозможность ее несанкционированного использования или изменения.

По способу ее внутренней организации информацию можно разделить на две группы:

• данные или логически неупорядоченный набор сведений;

• логически упорядоченный набор данных.

Ко второй группе относится особым образом организованная информация – базы знаний. Эти данные представляют собой информацию не о каком-то единичном факте, а о том, как устроены все факты определенного типа информации.

4. Методы ИЗМЕРЕНИЯ информации.

Как и любое физическое вещество информация имеет свои количественные характеристики. В современной информатике приняты следующие методы измерения информации:

объемный;

энтропийный;

алгоритмический.

Объемный метод измерения характеризуется количеством символов, содержащихся в конкретном сообщении. В вычислительной технике вся информация, независимо от ее природы (текст, число, изображение и т.д.), представляется в двоичной форме записи, т.е. состоящей из различных комбинаций двух символов 0 и 1. Один такой символ в вычислительной технике называется битом, совокупность восьми таких символов называется байтом, а большое количество символов, которыми оперирует ЭВМ, называется словом.

Энтропийный метод измерения информации используется в теории информации и кодирования. Он основывается на мере неопределенности появления некоторой совокупности событий и выражается вероятностью появления этих событий. Количество информации в сообщении при энтропийном методе оценки определяется тем, насколько уменьшается эта мера после получения сообщения. В теории информации используется следующая количественная мера:

Э = log₂ m,

где Э – энтропия;

m – число возможных равновероятных событий.

В случае, когда энтропия зависит не только от числа равновероятных событий выбора, но и от вероятности возможного выбора элемента информации К. Шеннон предложил следующую форму оценки энтропии:

Э = log₂ (1/Р_i) = - log₂ Р_i ,

где Р_i – вероятность возможного выбора i-го элемента информации.

Тогда среднее количество информации при m числе выборке с вероятностью Р_i каждой выборки определится выражением:

Алгоритмическая оценка информации характеризуется сложностью (размером) алгоритма (программы), которая позволяет ее произвести. На разных машинах и разных языках программирования такая оценка может быть разной. Поэтому задаются некоторой вычислительной машиной ( например, элементарной машиной Тьюринга), а предлагаемая количественная оценка информации определяется сложностью слова, как минимальное число внутренних состояний машины, требуемой для его воспроизведения.

Структурная схема машины Тьюринга приведена на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Структурная схема машины Тьюринга.

Где обозначено:

УУ – управляющее устройство;

СГ – считывающая головка;

Лента – источник информации бесконечная лента.

Управляющее устройство УУ определяет положение считывающей головки СГ {q_i } . В каждой ячейке ленты записан символ {a_i }. Таким образом, состояние машины {s_i } определится выражением:

S_i = q_i * a_i

Следующее перемещение ленты задается параметром {p_i}. Тогда новое состояние машины определится следующим образом:

S_i+1 = q_i * a_i *p_i .

Таким образом, полное состояние машины Тьюринга можно задать, определив множества Q{q_i }, A{a_i }, P{p_i}. Алгоритм определения состояния машины Тьюринга является единицей алгоритмического метода оценки информации.

ЛЕКЦИЯ 3. системы счисления

ВОПРОСЫ:

1. Основные понятия.

2. Двоичная система счисления.

3. Смешанные системы счисления.

4. Перевод чисел в системах счисления.

Литература:

[1], стр. 57 – 68.

1. Основные понятия.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

При этом в любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы, которые называются базисными символами, а все остальные числа получаются в результате операций над базисными символами.

В современном мире широко распространена десятичная система счисления, которая представлена десятью базисными символами:

0,1,2,3,4,5,6.7,8,9.

Получение любых других чисел обеспечивается за счет различного позиционного сочетания базовых символов, например число 1604 представлено всего четырьмя базисными символами, расположенными в соответствующих местах:

1 6 0 4

В римской системе счисления базисными символами являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000

с соответствующими знаковыми обозначениями:

I, V, X, L, C, D, M.

При этом другие числа получаются сложением или вычитанием базисного символа по следующему алгоритму:

• если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются;

• если цифра слева меньше, чем цифра справа то левая цифра вычитается из правой цифры.

Так, например, число 146₁₀ десятичной системы счисления в римской системе счисления имеет вид:

CXLVI,

где С – 100₁₀, XL -40₁₀, VI - 6₁₀.

Системы счисления, в которых любое число получается путем сложения или вычитания базисных символов называются аддитивными. Например, римская система счислений.

Системы счисления, в которых любое число представляется только позиционным весом базовой цифры, называются позиционными. Например, десятичная система, в которой значение цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, обозначающих число. При этом, система счислений основывается на том , что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, а каждый разряд имеет вес равный степени 10.

Для числа 525,35₁₀ цифра 5 повторена три раза, но каждый раз она означает различное число, а рассмотренное число можно представить следующим образом:

525, 35 =

Таким образом, десятичная система записи любого числа Х₁₀ в виде последовательности цифр имеет вид:

и основывается на представлении этого числа в виде полинома

,

где каждый коэффициент может быть одним из базисных чисел.

Определение. Число К единиц какого либо разряда, объединенных в единицу старшего разряда называется основанием позиционной системы. Так например, для десятичной системы объединением цифр 1 и 0 образуется старший разряд, т.е. основанием системы является число 10.

Для двоичной системы К = 2,

для троичной системы К=3,

для восьмеричной системы К=8 и т.д.

2. ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ.

В современной вычислительной технике, устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счислений, в которой для изображения числа используются только две базисные цифры :

0 и 1.

При этом перевод числа в старший разряд определяется цифрой 2, которой в двоичной системе соответствует число 10₂.

Таким образом, произвольное число Х в двоичной системе представляется в виде полинома следующего вида:

,

где каждый коэффициент может быть одним из базисных чисел 0 или 1.

Так, например изображения чисел десятичной системы в двоичной системе имеет вид:

0₁₀ - 0₂

1₁₀ - 1₂

2₁₀ - 10₂

3₁₀ - 11₂

4₁₀ - 100₂

5₁₀ - 101₂

6₁₀ - 110₂

7₁₀ - 111₂

8₁₀ - 1000₂

9₁₀ - 1001_2,

где цифры 2 и 10 при значении каждого числа указывают его систему счислений.

Таблица сложений для двоичной системы счислений имеет вид:

0+0=0 1+0=1

0+1=1 1+1=10

Таблица умножения в двоичной системе счислений имеет вид:

0х0=0 1х0=0

0х1=0 1х1=1

Так как в двоичной системе счислений при изображении любого числа используются только две цифры 0 и 1, то все электронные элементы ЭВМ могут находится только в дух состояниях:

1- включено или 0 - выключено,

а простота арифметических операций является причиной того, что современные ЭВМ используют двоичную систему счислений.

3. СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Неудобство использования двоичной системы счисления из-за громоздкости записи чисел, особенно при разработке программ на машинном языке, привели к использованию восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.

В восьмеричной системе счисления базовыми цифрами являются:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

А запись любого числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с коэффициентами из базовых цифр. Например, число 83₁₀ десятичной системы можно представить следующим образом:

8310 =64₁₀+16₁₀+3₁₀= = 1238

В шестнадцатеричной системе счисления базисными являются цифры от 0 до 15. В этой системе для обозначения всех базисных цифр не хватает цифр десятеричной системы, поэтому для обозначения первых десяти цифр используют цифры десятичной системы от 0 до 9, а для обозначения последующих шести цифр используют буквы:

10-a, 11- b, 12- c, 13- d, 14 -e, 15-f.

Поэтому, например, число десятичной системы 175,510 в шестнадцатеричной системе имеет вид:

175,510= 160₁₀ + 15₁₀+ 8₁₀/16₁₀= = af,8₁₆

В ряде случаев, числа, заданные в одной системе счисления приходится изображать с помощью цифр другой системы счисления. Например, десятичные числа, с которыми мы привыкли работать, необходимо переводить в двоичные, с которыми должна работать ЭВМ. В этих случаях используются смешанные системы счисления, в которых каждый коэффициент Р-ичного разложения числа записывается в Q-ичной системе.

В такой системе Р называется старшим основанием, а Q - младшим основанием, а сама система счисления называется Q-Р-ичной..

Для того, чтобы запись числа в смешанной системе счисления была однозначной, на представление любой Р-ичной цифры отводится одно и то же количество Q-ичных разрядов, достаточное для представления максимального числа Р-ичной системы.

Так, для изображения числа в двоично-десятичной системе необходимо отвести четыре двоичных разряда потому, что максимальная цифра десятичной системы 9₁₀ отображается числом двоичной системы 1001₂ , состоящей из четырех двоичных разрядов. Так например, число 195₁₀ десятичной системы запишется в двоично-десятичной системе в виде:

0001 1001 0101_2-10 ,

где последовательные тетраэды (четверки) двоичных чисел изображают цифры 1, 9, 5, записи числа в десятичной системе счисления.

При решении задач с помощью ЭВМ исходные данные задаются обычно в десятичной системе, полученные решения также представляются в десятичной системе, а непосредственно в машине они могут обрабатываться в двоичной или восьмеричной, или в другой системе счисления.

Таким образом, возникает необходимость перевода чисел из одной системы в другую.

4. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ В СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ.

При переводе чисел из одной системы счисления в десятичную систему счисления используют полином представления числа в Q-й системе счисления, а затем выполняют арифметические операции в десятичной системе счисления, например:

Например: перевод числа шестнадцатеричной системы af416 в десятичную систему счисления:

При обратном переводе чисел рассмотрим отдельно два случая перевода: целые и дробные числа.

Перевод целых чисел из Р-й системы счисления в Q-ю.

В соответствии с представлением целого числа в системе Р по основанию в системе Q имеем:

Разделим правую и левую часть на Q в результате получим новую целую часть и дробную часть (остаток):

Проделав тоже самое, но уже с новым целым числом , получим другой остаток и другое целое число, с которым продолжим выполнение предыдущих операций, пока в остатке не получится число . Чтобы достичь этого, исходное число необходимо разделить на Q s+1 раз. При этом получаемый остаток будет описывать число в новой системе счисления Q, начиная с младшего разряда.

Пример: перевод число 98₁₀ десятичной системы счислений в двоичную.

9 8: 2=49

остаток 0 (49х2=98; 98-98 =0)

4 9:2=24

остаток 1 (2х24=48; 49-48=1)

направление чтения числа в двоичной системе

24:2=12

остаток 0 (2х12=24; 24-24=0)

12:2=6

остаток 0 (2х6=12; 12-12=0)

6:2=3

остаток 0 (3х2=6; 6-6=0)

3:2=1

остаток 1 (2х1=2; 3-2=1)

1 операции закончены (т.к. делится число меньше чем основание)

Остаток отображает число в двоичной системе счисления, начиная с младшего двоичного разряда:

1100010₂

Проверка осуществляется выполнением обратной операции:

Перевод дробной части

Любое число меньше 1 можно представить полиномом следующего вида:

Для определения его разрядов в Q -й системе счисления необходимо число умножать на Q, выделяя целую часть m-число раз пока не будет достигнута заданная точность.

Пример: перевод десятичной дроби 0,625₁₀ из десятичной системы счисления в двоичную.

Решение:

0 направление чтения числа в двоичной системе ,	625 х2=1,25 ; 1,25-1=0,25
1	0,25 х2=0,5;
0	0 ,5 х2=1,0; 1-1=0
1	0х2=0
0	0

Таким образом, двоичное число имеет вид 0,1010₂

Выполним проверку перевода по следующему выражению:

ЛЕКЦИЯ 4. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ

ВОПРОСЫ:

1. Общие принципы представления информации.

2. Числовая система ЭВМ.

3. Представление символьной информации в ЭВМ.

4. Форматы данных

Литература:

[1], стр. 68 – 81.

1. Общие принципы представления информации. Числовая система эвм.

При работе с информацией, ее обычно представляют в виде определенных символических структур. При этом наиболее простой вид ее представления это одномерная форма представления, при которой сообщения имеет вид последовательности символов, таблица 1:

Таблица 4.1

1

0

1

0

0

1

0

Одномерная форма сообщения из 7 битов

О днако на практике широко используется многомерное представление информации, при котором понимается не только расположение символов в пространстве, но и множество других признаков: цвет, размер и вид шрифта и т.д., рис 4.1:

1	0	1	0	0	1	0
0	1	1	1	0	0	0
1	0	1	0	0	1	1
1	0	1	0	1	0	1 Цвета букв
1	1	0	0	1	1	0

Таблица буквенных кодов

Элемент памяти

Рис. 4.1. Пример представление многомерной информации

Процесс формирования представления информации называется ее кодированием.

В более узком понятии под кодированием понимают переход от одной формы представления информации, например, удобной для восприятия человеком (исходная форма представления) к другой, например, удобной для хранения, передачи и ее обработки. В этом случае обратный переход (к исходному представлению) называется декодированием.

При кодировании информации ставятся следующие цели:

1. удобство физической реализации;

2. удобство восприятия;

3. высокая скорость передачи и обработки данных;

4. экономичность (снижение избыточности сообщений);

5. надежность (защита от искажений);

6. защита от несанкционированного доступа к информации.

Многие из этих целей противоречат друг другу и поэтому при передачи информации находят между ними компромисс.

Рассмотрим способы представления информации в ЭВМ.

Для хранения информации в ЭВМ используются запоминающие устройства, электронные элементы которого могут находиться в двух устойчивых состояниях, что соответствует двум цифрам:

0 или 1.

Количество информации, помещающееся в один элемент памяти (0 или 1) называется битом информации, см. рис. 4.1.

Оно очень мало и не несет никакой смысловой нагрузки. Соединение электронных элементов в ячейку позволяет хранить в запоминающем устройстве столько информации, сколько нужно.

Последовательность битов, рассматриваемых аппаратной частью ЭВМ как единое целое, называется машинным словом, рис.4.2.

Конечная последовательность машинных слов помещающихся в оперативной памяти машины называется емкостью памяти, см. рис.4.2.

Емкость памяти

16 –битовое машинное слово

Рис. 4.2. Структура машинного слова и памяти ЭВМ.

2. ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА ЭВМ.

2.1. Представление целых чисел без знака и со знаком.

Рассмотрим пример представления информации с использованием 4-х битового машинного слова. При этом предположим, что процессор ЭВМ способен прибавлять 1 и инвертировать машинные слова, т.е. нули заменять единицами и наоборот.

Таким образом, результат увеличения слова, например 1100 на 1 станет слово

1101,

а инверсия слова 1100 станет слово

0011

Продолжая последовательно увеличивать битовые слова приходим к результату, когда увеличивая слово 1111 на 1, получаем слово 0000, что должно соответствовать 0 , но в нашем случае это соответствует числу 15₁₀. Т.е. получили неверную информацию, вернувшись в исходное состояние. Таким образом, числовая система ЭВМ является конечной и цикличной.

Рассмотрим другую ситуацию, когда за –1 примем кодовую комбинацию битов 1111, тогда числу –2 соответствует комбинация 1110 , -3 соответствует 1101 и т.д. до –8 , которой соответствует комбинация 1000. В этой системе четырех битовые комбинации, начинающиеся с 1 интерпретируются, как отрицательные числа. Это представление информации также конечно и циклично. Но введение числовой системы со знаком (представляемым старшим битом числа – крайний левый разряд) позволит использовать как положительные, так и отрицательные числа. При этом если число положительное, то его крайний левый разряд всегда имеет 0, который просто игнорируется при выполнении операций, а оставшиеся ТРИ разряда представляют собой двоичное число. Например число 0110 представляет собой положительное двоичное число 110, которое соответствует положительному числу 6₁₀ десятичной системы счисления.

Для оценки отрицательного числа его необходимо в начале инвертировать и затем дополнить до двух. Например, определим величину отрицательного числа в слове 1001.

Производим инвертирование:

0110

Дополняем до 2-х: (прибавляем к инвертированному числу 1)

0111

В результате получаем двоичный код положительного числа 111, который соответствует числу 7₁₀ десятичной системы счисления.

Таким образом, в слове 1001 закодировано отрицательное число –7_10-

2.2. Индикаторы переноса и переполнения в ЭВМ.

Для контроля выполнения арифметических операций в процессоре ЭВМ содержатся два индикатора:

• индикатор переноса;

• индикатор переполнения.

Каждый индикатор содержит 1 бит информации и может быть либо установлен в 1, либо сброшен в 0.

При установке индикатора переноса в 1 указывается на операцию переноса из знакового бита, а при установке индикатора переполнения в 1 указывается на операцию переноса в знаковый бит, рис 4.3.

п еренос перенос в знаковый бит

и

Ячейки памяти ЭВМ

з зна-

к ового

бита знаковый бит