Вопрос 15 Теорема об ограниченности непрерывной функции.

Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена.

Вопрос 16 Теорема Больцано-Коши (о нуле непрерывной функции)

Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а,b] и дифференцируемы на (а,b), и g'(x)0 в (a,b), то существует точка (a,b) такая, что

(f(b)–f(a)/g(b)–g(a))=f'()/g'() {1}. Доказательство: Отметим, что g(b)–g(a)0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка  такая, что g'()=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f'(x)–f(a)–(f(b)–f(a))/(g(b)–g(a))[g(x)–g(a)]. В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а,b], дифференцируема на (а,b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка (а,b), в которой F'(g)=0. Но

F'(x)=f'(x)–(f(b)–f(a)/g(b)–g(a))g'(x), поэтому, подставляя вместо х точку , получаем утверж­дение теоремы. Замечание: В формуле {4} Коши, как нетрудно видеть, не обязательно считать а<b. Но тогда [а,b] и (а,b) обозначают соответственно множества точек х, для которых bxa,b<x<a. Как следствие из теоремы Коши, при g(x)=x полу­чим теорему Лагранжа.

Вопрос 17 Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии – это утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любые значения между ними.

Формулировка:

Пусть дана непрерывная функция на отрезке . Пусть также , и ограничения общности предположим, что f(a)=A<B=f(b). Тогда для любого существует такое, что f(c)=C.

Доказательство:

Рассмотрим функцию g(x)=f(x)-C. Она непрерывна на отрезке [a,b] и g(a)<0, g(b)>0. Покажем, что существует такая точка , что g(c)=0. Разделим отрезок [a,b] точкой x₀ на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x₀)≠0 и нужная точка c=x₀ найдена, либо g(x₀)≠0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g(x) принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше.

Обозначив полученный отрезок [a₁,b₁], разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке C, либо получим последовательность вложенных отрезков [a_n,b_n] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a_n)<0<g(b_n).

Пусть c – общая точка всех отрезков [a_n,b_n]n=1,2, … Тогда c=lima_n=limb_n, и в силу непрерывности функции g(x): g(c)=limg(a_n)=limg(b_n).

Поскольку:

limg(a_n)≤0≤limg(b_n) получим, что g(c)=0.

ПРОИЗВОДНАЯ

Вопрос 20 Производные элементарных функций.

Вопрос 22 Производные высших порядков, формула Лейбница.

y=sinx

y'=(sinx)'=cosx=sin(x+/2)

y''=(cosx)'=-sinx=sin(x+)=sin(x+2/2)

y'''=(-sinx)'=-cosx=sin(x+3/2)

y'^v=(-cosx)'=sin=sin(x+4/2).

Вопрос 24 Теорема Ролля.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m.

Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана.

Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.