Вопрос 61 Уравнение линии на плоскости. Полярная система координат.

Определение. Линией второго порядка на плоскости называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x,y), удовлетворяющими уравнению второго порядка вида Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0(А,B,C,D,E,F- константы).

Пример.

x²+xy+y²+3x+1=0 - уравнение линии второго порядка.

Среди кривых (линий) второго порядка наиболее часто на практике употребляются следующие: эллипс, гипербола и парабола. Эллипсом называется г. м. т. плоскости, каждая из которых такова, что сумма расстояний от нее до точек F₁(-c,0) и F₂(c,0) (фокусов) постоянна и равна 2а(c<a,a>0,c>0).

Так как, r₁+r₂=2a, то ,откуда легко, возведением в квадрат, получается каноническое уравнение эллипса

а- большая полуось, b- малая полуось эллипса.

Свойства эллипса.

1. Эллипс целиком лежит в прямоугольнике со сторонами 2а и 2b и центром в начале координат.

2. Эллипс симметричен относительно осей координат.

3. Точки с координатами (а,0), (-а,0), (0,b), (0,-b)- называют вершинами эллипса.

4. В вершинах эллипс касается центров сторон прямоугольника.

5. Число - эксцентриситет, выражающий форму эллипса. При =0 (а=b) - эллипс превращается в окружность.

Определение.

Гипербола- это г. м. т. плоскости модуль разности расстояний от которых до фокусов F₁(-c,0) и F₂(c,0) постоянен и равен 2а.

r₁-r₂=2a или

откуда , после преобразований возведения в квадрат, имеем каноническое уравнение гиперболы.

a,b- полуоси гиперболы.

Свойства гиперболы.

1. Гипербола лежит вне прямоугольника со сторонами 2а и 2b и центром в начале координат.

2. Гипербола симметрична относительно осей координат.

3. Вершины гиперболы- точки А₁(-а,0) и А₂(а,0), в которых она касается середин сторон прямоугольника.

4. При ветви гиперболы стремятся к прямым, являющимся продолжением диагоналей прямоугольника.

Определение.

Парабола- г. м. т. плоскости равноудаленных от точки (фокуса) и прямой, называемой директриссой.

r₁=r₂ или , откуда после преобразований имеем - каноническое уравнение параболы.

Известна следующая теорема, позволяющая классифицировать кривые второго порядка.

Теорема. Любое уравнение кривой второго порядка вида Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 может быть при помощи поворота декартовой системы координат.

и переноса начала координат , сведено к одному из следующих канонических уравнений

(точка (0,0))

Пример.

Определить тип кривой и построить график 4x²+9y²=16 , это каноническое уравнение эллипса с полуосями a=2, b=4/3

Пример. (Экономическое приложение).

Себестоимость выпуска продукций предприятиями А и В находящихся на расстоянии S друг от друга одинакова. Стоимость перевозки для предприятия А пропорциональна расстоянию с коэффициентом 1/3, для предприятия В с коэффициентом 1. Найти границу рынка сбыта товаров для предприятий А и В.

Граница рынка сбыта будет определяться равенством стоимости продукции, т.е. равенством , где r_A и r_B- расстояние перевозки.

Выражая r_A и r_B имеем

Возводя в квадрат и преобразуя, получаем

.

Это уравнение кривой второго порядка которое приведем к каноническому виду

Получено уравнение окружности (частного случая эллипса) с центром в точке и радиусом . Начертим его, к примеру, при S=8 (R=8)

Из рисунка видно, как накладные расходы, в частности стоимость перевозок, могут сузить рынок сбыта товаров.

Полярная система координат

Кроме прямоугольной или декартовой системы координат часто используется полярная система координат. Возьмем на плоскости направленную прямую Ох и на ней точку О (рис. 15). Положение точки М на этой плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от взятой нами точки О и углом φ, образуемым отрезком ОМ с положительным направлением прямой Ох. Отсчет углов обычно ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Числа r и φ называются полярными координатами точки М, причем r называется радиус-вектором,  φ - полярным углом. Прямая Ох называется полярной осью, а точка О - полюсом полярной системы координат. Заметим, что r (как расстояние) - всегда величина положительная, а угол φ может изменяться от 0 до 2π и далее до бесконечности. Координатные линии полярной системы суть концентрические окружности с центром в точке О (r =const) и лучи, выходящие из точки О ( φ =const ). Из рис. 16 видно, что если полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось - с осью абсцисс, то прямоугольные координаты точки М выражаются через ее полярные координаты следующим образом: Полярные координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты такими формулами: Определяя величину φ из (52) и имея в виду, что r > 0, видим, что знак  должен быть одинаков со знаком y, а знак   - со знаком х. Отсюда по знаку sin φ и cos φ легко установить четверть, в которой лежит искомый угол. Пример 1. Декартовы координаты точки М(1, -1). Каковы полярные координаты этой точки?