6. Основы булевой алгебры

6.1 Основные понятия Булевой алгебры

Булева алгебра применяется в электронике, автоматике и теории вычислительных устройств. Кроме этого, любая сколько-нибудь сложная программа для ЭВМ содержит условные переходы и связанные с ними логические условия. Поэтому логические операции имеются практически во всех языках программирования.

Алгебра логики или булева алгебра - раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

В алгебре логики широко используется понятие “высказывание”. Высказыванием называется простое повествовательное положение, о котором можно сказать, что оно ложно или истинно, но не то и другое одновременно. Любое высказывание можно обозначить символом A и считать, что A=1, если высказывание истинно, а A=0, если высказывание ложно.

Высказывания бывают простые и сложные. Высказывание, значение истинности которого не зависит от значений истинности других высказываний, называют простым, в противном случае высказывание сложное.

Булева алгебра строится по тем же принципам, что и обычная алгебра. Разница заключается в том, что в формулах булевой алгебры переменные являются логическими. Логическая (булева) переменная – такая переменная X, которая может принимать только два значения: X={0-"ложь" ,1-"истина"}. Каждая формула задает логическую функцию от логических переменных, которая сама может принимать только два логических значения.

Любую логическую функцию f (x1, x2,...,xn) можно задать формулой, содержащей логические переменные, соединенные знаками логических операций, или же таблицей истинности, в левой части которой выписать все возможные наборы аргументов, а в правой - столбец значений функции. Число строк в такой таблице равно 2ⁿ - числу различных комбинаций из нулей и единиц длиной n.

6.2 Элементарные логические операции

В булевой алгебре имеются следующие элементарные операции: логическое умножение, логическое сложение и логическое отрицание.

Простейшей операцией булевой алгебры является одноместная (унарная) операция отрицания. Она получается присоединением частицы НЕ (английский аналог - NOT) к высказыванию A и записывается так: not A. Логическое отрицание меняет значение логической переменной, к которой применена, на противоположное.

Таблица истинности для логического отрицания:

A	not A
0	1
1	0

Операции логического умножения и сложения являются двуместными (бинарными) операциями, то есть объединяют два простых высказывания.

Соединение двух простых высказываний A и B в одно составное с помощью союза И (английский аналог- AND) называется логическим умножением или конъюнкцией, а результат операции логическим произведением. Записывается логическое произведение так: AB или A^B, или A and B.

Составим таблицу истинности для логического умножения A and B:

A	B	A and B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Из таблицы истинности видно, что высказывание A and B истинно только тогда, когда истинно и высказывание A, и высказывание B, и ложно при всех других комбинациях A и B.

Соединение двух простых высказываний A и B в одно с помощью союза ИЛИ (английский аналог - OR), называется логическим сложением или дизъюнкцией, а полученное составное высказывание логической суммой. Записывается логическая сумма так: A+B или AvB, или A or B.

Таблица истинности для логического сложения A or B имеет следующий вид:

A	B	A or B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Из таблице истинности видно, что высказывание A or B ложно лишь тогда, когда ложны высказывания A и B, и истинно при всех других комбинациях A и B.

Для соединения трех и более высказываний должны применяться скобки, показывающие порядок выполнения операций. При выяснении истинности значения логического выражения сначала определяется истинность высказывания, находящегося в скобках, а затем определяется истинность значения всего выражения.

Над высказываниями A and B, A or B, not A в свою очередь можно выполнять логические операции, считая их простыми высказываниями.