- •1.Основные понятия теории вероятностей. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Основные понятия тв.
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •2. Алгебраические операции над событиями. Отношение м/д событиями. Аксиоматическое определение вероятности события. Отношение м/д событиями
- •Аксиоматическое определение вероятностей события
- •3.Основные свойства вероятностей. Правило сложения вероятностей. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
- •4.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •5.Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •6.Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •7. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •8. Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях по схеме Бернулли.
- •9. Случайные величины. Закон распределения вероятностей. Биноминальное распределение. Геометрическое распределение.
- •10. Распределение Пуассона.
- •11. Функция распределения св и ее свойства.
- •12. Непрерывные св. Равномерный закон распределения.
- •13 Показательный закон распределения. Нормальный закон распределения.
- •14 Многомерные случайные величины. Ф-ция распределения многомерной случайной величины, её свойства.
- •15 Двумерные непрерывные св. Плотность распределения вероятностей двумерной св, её свойства
- •16 Двумерные св. Условные законы распределения.
- •17 Независимые случайные величины. Критерий независимости.
- •18 Функции случайных величин, их законы распределения.
- •19.Числовые характеритики св.
- •20.Моменты распределения одномерной св.
- •21.Ковариация и коэффициент линейной корреляции 2 св, их свойства.
- •22.Условное мат ожидание
- •23. Двумерное нормальное распределение. Условие независимости некоррелированных св.
- •24.Теорема об условных распределениях компанент двумерной нормально распределенной св.
- •25 Характеристические функции случайных величин, их свойства. Примеры
- •26. Неравенства Маркова и Чебышева.
- •27. Теорема Чебышева. Теорема Маркова.
- •28. Центральная предельная теорема.
- •29. Теорема Ляпунова. Интегральная теорема Лапласса.
- •30. Распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.
- •33. Оценка дисперсии случайной величины.
- •34. Неравенство Рао-Крамера. Следствие для несмещенной оценки
- •35. Эффективная оценка мат. Ожидания нормальной распределенной величины.
- •36. Асимптотически эффективные и сверх эффективные оценки. Теорема о состоятельности оценки.
- •37. Условные законы распределения. Условное мат. Ожидание.
- •38.Достаточные статистики. Критерий факторизации
- •39.Теорема Колмагорова – Блекуэлла.
- •41. Метод моментов
- •42. Распределение….
- •43. Распределение Стьюдента.
- •44. Теоремы о случайной величине, имеющей распределение Стьюдента.
- •45. Распределение Фишера. Теорема о случайной величине, имеющей распределение Фишера
- •46 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -неизвестно)
- •47 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -известно)
- •48 Доверительный интервал для дисперсии нормально распределеннной с.В.
- •55 Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенный с.В.
13 Показательный закон распределения. Нормальный закон распределения.
Опр: непрер СВ Х, которая принимает только неотрицательные значения с плотностью распределения ( ), называется распределённой по показательному закону с параметром λ.
Ф-ция распределения СВ Х распр по показат закону
Опр: непрер СВ Х распределена по нормальному закону, если её плотность распр определена формулой
14 Многомерные случайные величины. Ф-ция распределения многомерной случайной величины, её свойства.
Пусть некоторый эксперимент описывается некоторыми случайными величинами . Упорядоченный набор случайных величин ( ) называется n-мерной СВ или n-мерным случайным вектором. i-ая компонента данной СВ.
Пусть (Х,У) – двумерная СВ, множ значений которой состоит из изолированных точек на плоскости. Такая СВ называется дискретной.
Перечень возможных значений пар компонент и соотв каждой такой паре вероятностей удовлетворяет условию называется законом распределения дискретной СВ (Х,У).
Одномерные законы распределения отдельных компонент выражаются через вероятности совм значений по формулам: .
Распр дискр СВ
Y X |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
По аналогии можно определить распределение вероятностей n-мерной СВ.
Опр: ф-ция распр n-мерн СВ ( ) назыв ф-ция от n переменных определенная во всем n-мерном евклидовом пр-ве формулой:
.
В частном случае для 2-х мерной СВ имеем:
Ф-ция распр обладает следующ св-вами:
1.
2. неубывающая ф-ция по каждому аргументу
Док-во: ф-ция распр имеет следующ геометрич истолкование:
вероятность того, что случайная точка (Х,У) попадет в бесконечный квадрат с вершиной (х,у). Если смещать границу этого квадрата в сторону увеличения х или у, то вероятность попадания в этот квадрат случайной точки (Х,У) может только увеличиться.
3. непрерывна слева по каждому из аргументов по каждой точке плоскости
4. имеют место следующие предельные соотношения:
Док-во (одного из равенств): . Используя аксеому непрерывности вероятности получим: .
5. , -одн-ные ф-ции распр велич
Док-во: отодвигаем одну из границ квадрата к . При этом квадрат превращается в полуплоскость. Вероятность попадания случайной точки в такую полуплоскость есть ф-ция распре-деления соотв составляющей двумерной величины (Х,У).
Для дискретной СВ ф-ция распр имеет вид:
Св-ва 2-мерной СВ распространяются на n-мерные СВ.
15 Двумерные непрерывные св. Плотность распределения вероятностей двумерной св, её свойства
Опр: 2-мерная СВ назыв непрерывн СВ, если ее ф-ция распр непрерывна на всей плоскости и сущ такая неотрицат интегрируемая по Римману в бесконечных пределах по каждой из координат ф-ция , такая, что
Ф-ция назыв плотностью распределения СВ (Х,У).
Св-ва плотности: 1.
2.
3. если (х,у) точка непрерывности плотности , то
4. плотности распределения вероятностей отдельных компонент СВ (Х,У) выражается следующ образом через :
5. если (Х,У) непрер СВ, то вероятн попадания случайной точки в произвольный квадрат области G на плоскости определяется по формуле: .
Вероятностный смысл плотности распределения
Пусть непрерывна в окрестности точки (х,у).
Т.о плотность распределения вероятностей 2-метной СВ (Х,У) можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания СВ (Х,У) в прямоугольник со сторонами к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к 0 по длине.
Из полученной формулы следует, что
С точностью до бесконечно малых высшего порядка чем .