10. Распределение Пуассона.

Рассматривается схема Бернулли. Число независимых испытаний п велико, а вероятность события мала (р<=0.1).

В этом случае формула Лапласа непригодна. Поэтому прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Т.о. перед нами задача: найти вероятность того, что при очень большом числе испытании, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз.

Сделаем важное предположение: произведение n*p сохраняет постоянное значение (np=λ). Это означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (т.е. при различных значениях п) остается неизменным:

Т.к. п очень велико, вместо Р_n(k) найдем и его будем считать приближенным значением вероятности Р_n(k):

.

.

Рассмотрим СВ Х, которая принимает значения 0, 1, 2, …

В этом случае говорят, что СВ Х имеет закон распределения Пуассона.

Закон распределения Пуассона можно задать в виде таблицы:

Х	0	1	2	…	k	…
p	e-λ	λe-λ		…		…

Заметим, что

11. Функция распределения св и ее свойства.

Пусть Х – СВ.

Опр. Ф-ция F(x), определенная при всех (вероятность того, что СВ Х приняла значение <x: P(X<x)) F(x)=P(X<x) называется функцией распределения СВ Х.

Значение функции распределения в точке х равно вероятности события, состоящего в том, что СВ примет значение <x.

Свойства функции распределения.

1) , т.к. F(x) – вероятность.

2) F(x) не убывает на все числовой оси.

Док-во: Возьмем х₁<x₂. Рассмотрим вероятность того, что Х<x₂: P(X<x₂). A={X<x₂}. B={x₁<=X<x₂}. A+B={X<x₂}. События А и В несовместны. Значит, P(A+B)=P(A)+P(B)= =F(x₂)=F(x₁)+P(x₁<=X<x₂). Последнее слагаемое в равенстве >=0. Значит, F(x₂)>= F(x₁). Доказано.

3) P(x₁<=X<x₂)= F(x₂)-F(x₁)

4) Функция распределения F(x) всегда непрерывна.

Док-во: Аксиома 3 из определения вероятности (если А₁,А₂,… F (F-алгебра), причем A_i*A_j=Ø для i j, то Р(А₁+А₂+…)= ) эквивалентна аксиоме непрерывности (если В₁,В₂,…,В_k, … - последоват. таких событий, что B_n+1 B_n, n=1,2,… и , то ). Доказать самостоятельно эквивалентность аксиом. Непрерывность функции F(x) будем док-ть с помощью определения предела по Гейне: х₁,х₂,…,х_n – любая последовательность, удовлетворяющая двум условиям:

1)х₁<х₂<…<х_n<…<x₀;

2) .

Событие A_n={x_n<=X<x₀}, A_n+1 A_n. Согласно аксиоме непрерывности:

Р(А_n)=P(x_n<=X<x₀)=F(x₀)-F(x_n).

.

По Гейне . Значит, функция непрерывна слева. Доказано.

5)

Док-во: ={X<п}, A_n={X>=n}, A_n+1 A_n .

Доказано.

12. Непрерывные св. Равномерный закон распределения.

Непрерывные СВ.

Опр. СВ Х наз-ся непрерывной СВ, если существует такая неотрицательная, интегрируемая по Риману на (-∞, +∞) ф-ция р(х) (f(x)), что .

Ф-ция р(х) называется плотностью распределения вероятности СВ Х.

Плотность p(x) обладает след. свойствами:

1)

2) - условие нормирования

3) F`(x)=p(x) в точках непрерывности функции p(x).

Вывод: Ф-ция распределения непрерывной СВ является непрерывной, монотонно-неубывающей ф-цией на все числовой оси.

P(X=x)=F(x+0)-F(x) (следует из того, что P(x<=X<x+Δх)= =F(x+Δх)-F(x)). Если Х – непрерывная СВ, то F(x+0)-F(x)=0 . Т.о. для непрерывной СВ Р(Х=х)=0. Говорят, что вероятность попасть в точку равна 0.

Если Х – непрерывная СВ, то вероятность ее попадания на [a,b) можно вычислить через плотность распределения вероятностей по формуле .

Если х – точка непр. плотности вероятности . Формула справедлива с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка малости, чем Δх.

Равномерный закон распределения.

Опр. Непрерывная СВ, которая принимает значения только [a,b] с постоянной плотностью распределения, наз-ся распределенной равномерно на этом отрезке (иначе говоря, имеет равномерное распределение вероятностей на [a,b]).

Из определения следует, что

.

Найдем функцию распределения для этой СВ