3.13Характеристики замкнутых систем.
Для замкнутой сети вместо 0 задают количество заявок в сети М.
Состояние замкнутой сети и ее вероятности.
В замкнутых сетях с конечным числом заявок М стационарный режим всегда существует, т.к. размеры очередей всегда конечны и в сумме всегда < M.
Различные распределения из М заявок по системам сети определяют ее состояния (М1,М2,..,Мn),.
Mi = M
Обозначим множество
всех состояний через А(М,n), а количество
этих состояний :
A(4,2) = (0,4)(1,3)(2,2)(3,1)(4,0) = 5! / (4! * (5 - 4)!) = 5
Для определения вероятностей состояний замкнутой сети используют тот же подход, что и для разомкнутой сети, т.е. вероятности состояний сети определяются через вероятности состояний отдельных систем.
Однако, вероятности нормируются с учетом того, что сумма (Мi) = М.
P=(M1,M2,…,Mn)=
PMi - вероятность того, что в i-той системе ровно Мi заявок. Вероятности PMi определяются по тем же формулам, что и для разомкнутой системы, или, подставляя PMi в формулу, получаем:
РМі
=
Mi<Ki
РМі+кі
=
PMi = 0Мі*(aі/і)Мі*Pі(0)*RMi
R Mi
=
при Mi
Ki
R Mi
=
при Мі
Кі
Знаменатель формулы для PMi обозначим как RMi
P(M1,M2,..,Mn)=(0Mi)*(aі/і)Mi*RMi*Pі(0)) /((0Mi)*((aj/j)Mi*RMj*Pj(0))),
но (0Mi)=(0Mi)=0M, поэтому
PM1,M2,..,Mn)= (((aі/і)Mi*RMi*Pі(0)))/(((aj/j)Mi*RMj*Pj(0))) .
Здесь ai имеет одинаковое значение для разомкнутых и замкнутых цепей.
Кроме того, числитель и знаменатель можно сократить на Рj(0), так как оно не зависит от набора Мі. В итоге имеем:
Р(М1,М2,…,Мn)
=
Загрузка систем замкнутой сети.
Вероятность, что в системе Sj ровно r заявок, определяется выражением:
Р((Mj = r) =[сумма при M(j)=r oт ] (Р((M(1)..M(n)))
Очевидно, что если r = 0, то в системе нет заявок. Вероятность обслуживания заявок системой Sj, очевидно, определяется:
Р( (обсл)j = 1- Р( (M( j )=0).
Для нахождения загруженных каналов ( рoj )используют выражение:
j=Kj-
Загрузка каждого из каналов системы ( kj )определяется разностью между 1 и средним числом простаивающих каналов, отнесенным к общему числу каналов.
kj =1-(Kj - j)/Kj =j/Kj ;
но
j = j/j отсюда
j=j*
Среднее число
заявок в системе:
mj
=
Средняя длина
очереди в системе:
lj
=
Среднее время пребывания заявок
в системе: uj =mj/j
в очереди: wj =lj/j.
Назовем среднюю длину промежутка между двумя последовательными выходами одной и той же заявки из системы Sj временем цикла системы Sj.
Uj=M/j
То есть это время прохождения через систему ровно M заявок.
ПРИМЕР:
Кольцо из двух одноканальных систем
Определим характеристики системы при V1=1, V2=2
Полагая К1=1; K2=1 (одноканальные системы) и М=3(три заявки).
У нас будут следующие наборы:
(3;0) ¦ Следовательно, четыре варианта состояния системы:
(2;1) ¦ следовательно, необходимо посчитать вероятности для
(1;2) ¦ всех наборов.
(0;3) ¦
1 =2 ¦ полагаем 0=1;
2= 1 ¦ 1=1;
0= 2 ¦ 2=1;
таким образом:
a1=a2=a0=1
1= 1/V1=1
2= 1/V2=0.5
Вероятность того, что заявки в 1 системе - велика; во второй - мала.
В нашем случае все R = 1, так как если канал 1, то все R = 1
Числитель(3;0)=R1(3)*((а1/1)3)*(а2/2)0*R2(0)
числитель (3;0)= (1/1)3 *(1/2)0 = 1
числитель 2;1)= (1/1)2 *(1/2)1 = 0.2
числитель(1;2)= (1/1)1 *(1/2)2 = 0.04
числитель (0;3)= (1/1)0 *(1/2)3 = 0.008
числитель
Сумма числителей = 1.248 Р= ------------------
[сумма] числителей
Р (3,0)= 1/1.248= 0.801
Р (2,1)= 0.2/1.248= 0.1603
Р (1,2)= 0.04/1.248= 0.03205
Р (0,3)= 0.008/1.248= 0.00641
Коэффициент загрузки системы
1= k1/K1; 2= k2/K2
j =Kj
-
1= 1-1*P(M(1)=0)=1-0.00641= 0.99359
2= 1-1*P(M(2)=0)= 1-0.801=0.199
k1= 1/K1= 0.99359
k2= 2/K2=0.199
1= 1*1=0.99359*1=0.99359
2= 2*2= 0.199*5=0.995
1=2=0 так как поток идет последовательно.
Среднее число заявок:
m1= [сумма от r=1 до M]r*р(M(1)=r)= 0.032*1+0.16*2+0.8*3= 2.75
m2= 0.16*1+0.032*2+0.0064*3= 0.25
m1+m2=M
Определить параметры l1;l2
l1= 0.16*1+0.8*2= 1.76
l2= 0.032*1+0.0064*2= 0.045
u1= m1/ 1= 2.75; u2= 0.25
w1= k1/ 1= 1.76; w2= 0.045
U1= 3/ 1= 3; U2= U1= 3