3Аналитические расчеты систем массового обслуживания

3.1Аналитическое моделирование вычислительных систем

Потоки заявок.

При аналитическом моделировании характеристики системы вычисляются, как правило, для простейших потоков заявок и потоков обслуживания.

Простейший поток обладает следующими свойствами:

1.Стационарность-постоянство во времени.

2.Отсутствие последствия - приход одной заявки не влияет на приход другой.

3.Ординарность.

Если у потока есть все три свойства, то этот поток непременно простейший.

Стационарность - это означает, что за достаточно большой промежуток времени приходит примерно одинаковое число заявок.

Отсутствие последствия - поступление заявок в данный момент не влияет на поступление заявок в будущем.

Ординарность - в каждый конкретный момент приходит одна заявка или ни одной.

У простейшего потока вероятность, что интервал между заявками будет не больше: инт <= 

F()=1-еxp(-*) ,

где  - интенсивность потока заявок.

=1/Tср

плотность вероятности f()=*exp(-*)

Такое распределение называется экспоненциальным, и говорят, что для простейшего потока действует экспоненциальное распределение интервалов.

Математическое ожидание:

Мо(инт)=интеграл от 0 до бесконечности *(*exp(-*)*d) =1/.

Дисперсия для этого закона:

D(инт)=интеграл от 0 до бесконечности ((Mo((инт)-)^2**exp(-*)d)=1/^2. Среднеквадратичное отклонение:

 =sqrt(D)=Mo

Таким образом единственная характеристика простейшего потока- это интенсивность .

Простейшие потоки заявок обладают следующими особенностями:

сумма из М независимых ординарных стационарных потоков с интенсивностями i и возможно с последствиями сходятся к простейшему потоку с интенсивностью суммарной ,при условии, что складываемые потоки достаточно малы относительно суммы потоков.

Потоки заявок полученные в результате случайного разрежения исходного стационарного и ординарного потока, имеющего интенсивность , когда каждая заявка исключается из потока с вероятностью р независимо от исключения других заявок, образует простейший поток с интенсивностью р*. Он называется потоком исключения.

Простейший поток создает тяжелый режим работы системы, т.к. 63% промежутков времени между заявками имеют величину, меньшую, чем 1/.

Простейший поток широко используется в аналитических расчетах, т.к.

1)аналитические формулы существуют практически только для простейших потоков;

2)многие реальные потоки статистически неотличимы от простейших;

3)простейшие потоки проверяют характеристики системы в трудных условиях эксплуатации;

Среди других законов, используемых в системах массового обслуживания наиболее типичен: нормальный закон, законы Пуассона и Эрланга.

3.2Модель размножения - гибели.

Если последовательность состояний цепи Маркова связана только с соседними, то расчеты стационарных вероятностей состояний определяются формулами:

р(0)* р (0,1)= р (1)* р (1,0)

р ( i-1 )* р ( i-1,i )= р ( i )* р ( i,i-1 )

р ( i )= р ( 0 )*(произведение переходов от 0 к i)/ (произведение переходов от i к 0)

р ( 0 )=1/(1+ р (0,1)/ р (1,0)+ р (1,2)/ р (2,1)* р (0,1)/ р (1,0)+...)

Модель размножения - гибели является базовой для аналитических расчетов в системах массового обслуживания.