27. Аффинное пространство

Аффинное пространство — служит обобщением аффинных свойств евклидова пространства. Во многом схоже с векторным пространством, но в отличие от последнего, точки в аффинном пространстве являются равноправными. В частности в аффинном пространстве нет понятия нулевой точки или начала отсчёта. В аффинном пространстве возможно вычитать друг из друга точки и получать векторы так называемого присоединенного пространства; также возможно прибавлять вектор к точке и получать другую точку, но нельзя складывать точки друг с другом

Определение

Аффинное пространство над полем   — множество A со свободным транзитивным действием аддитивной группы векторного пространства V над полем  .

Если поле   не указывается, то предполагается поле вещественных чисел.

• Элементы A называются точками аффинного пространства

• Пространство V называется пространством присоединенным к A

• Образ действия   на   обозначается a + v

• Для двух точек   через   обозначается такой вектор из V, что 

• Размерность пространства A определяется равной размерности присоединенного пространства V.

28. Преобразования базиса

29. Ковариантный тензор

30. Контрвариантный тензор

31. Алгебраические операции над тензорами

Тензоры допускают следующие алгебраические операции:

• Умножение на скаляр — как и вектор или скаляр (частные случаи тензора);

• Сложение тензоров одинаковой валентности и состава индексов (вычислять сумму можно покомпонентно, как и для векторов);

  • Наличие умножения на скаляр и сложения тензоров делают пространство тензоров одного и того же типа линейным пространством.

• Тензорное произведение — без ограничений. Произведением тензора ранга (m,n) на тензор ранга (m',n') является тензор суммарного ранга (m + m',n + n'), то есть если   и   то их произведение

Компоненты тензорного произведения суть произведения соответствующих компонент множителей, например:

• Свёртка тензора — специфическая тензорная операция, понижающая валентность тензора, вычисляется суммированием по паре индексов (верхнего и нижнего, если они различаются) и пробегающих, оставаясь равными друг другу, все свои значения, например:

• (последнее в эйнштейновских обозначениях, где суммирование по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу подразумевается автоматически). Часто, если не как правило, свёртка (то есть результат операции свёртки) обозначается той же буквой, что и тензор, к которому свёртка применена, только, конечно, с количеством индексов, на два меньшим.

• След матрицы — частный случай свёртки тензора с собой.

• Свёртка двух или нескольких тензоров (в том числе тензоров и векторов), например:

 (последнее — в записи Эйнштейна).

 — операция, которую можно свести к последовательному тензорному умножению этих тензоров (см. чуть ниже) и затем свёртке получившегося тензора (возможно, несколько раз). Очевидно, эта операция линейна по всем входным каналам. Таким образом, свёртка с тензором реализует линейное или полилинейное отображение пространств тензоров на пространство тензоров (в общем случае — на другое), в частности, векторов на векторы и векторов на скаляры.

• Свёртка вектора с тензором валентности два есть действие линейного оператора, определяемого этим тензором, на вектор:

 (последнее — в записи Эйнштейна).

• Свёртка (однократная) двух тензоров валентности два реализует композицию линейных операторов, определяемых этими тензорами:

 (последнее — в записи Эйнштейна).

• Симметризация и антисимметризация — конструирование тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора T_ij — это симметричный тензор  , а антисимметризация — антисимметричный тензор  . В общем случае симметризация по n индексам имеет вид

а антисимметризация:

Здесь σ — всевозможные перестановки индексов   а   — чётность перестановки σ. Разумеется, не обязательно симметризовать тензор по всем индексам, здесь это используется лишь для упрощения записи.

• Если   симметричен по   то симметризация по этим индексам совпадает с T, а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности по некоторым индексам.

• Если   то     Здесь   — симметричное, а   — внешнее произведение векторных пространств.