- •1. Кривые в евклидовом пространстве
- •2. Формулы Френе для плоской кривой
- •3. Кривизна кривой. Длина кривой
- •4. Простые поверхности в евклидовом пространстве
- •5. Касательная плоскость
- •6. Длина кривой, заданной на поверхности
- •7. Первая квадратичная форма поверхности
- •8. Главные кривизны поверхности
- •9. Теорема (формула) Стокса
- •10. Теорема (формула) Остроградского
- •11. Скалярные поля. Поверхности уровня
- •12. Производная по направлению
- •13. Градиент скалярного поля
- •14. Оператор Гамильтона (набла-оператор). Правила работы с ним
- •15. Векторные поля. Векторные линии. Поток векторного поля
- •16. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского
- •17. Ротор векторного поля. Формула Стокса
- •18. Потенциальные поля. Условие потенциальности поля.
- •19. Соленоидальные поля. Условие соленоидальности.
- •20. Лапласово поле. Уравнение Лапласа.
- •21. Криволинейные ортогональные координаты
- •22. Коэффициенты Ламэ. Элементы длины кривой, площади поверхности, объема
- •27. Аффинное пространство
- •Определение
- •32. Тензоры в евклидовом пространстве
19. Соленоидальные поля. Условие соленоидальности.
Векторное поле называется соленоидальным, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:
Если это условие выполняется для любых подобластей некоторой области W, то это условие равносильно тому, что равна нулю дивергенция векторного поля
20. Лапласово поле. Уравнение Лапласа.
21. Криволинейные ортогональные координаты
В евклидовом пространстве особое значение имеет использование ортогональных криволинейных координат, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах проще, нежели в общем случае. Что связано с тем, что метрическая матрица в системах с ортонормированным базисом будет диагональной, что существенно упростит расчёты. В качестве примера таких систем можно привести сферическую систему в R2
22. Коэффициенты Ламэ. Элементы длины кривой, площади поверхности, объема
Коэффициенты Ламе
Выпишем дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):
Принимая во внимание ортогональность систем координат ( при ) это выражение можно переписать в виде
где
Положительные величины , зависящие от точки пространства, именуются коэффициентами Ламе или масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц длины содержится в единице координат данной точки и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой.
Тензор римановой метрики, записанный в координатах qi, представляет из себя диагональную матрицу, на диагонали которой стоя́т квадраты коэффициентов Ламе:
-
gij = 0 для i≠j
, то есть
23. Градиент, дивергенция и ротор в криволинейных координатах
Градиент
где Hi — коэффициенты Ламе.
Дивергенция
, где Hi — коэффициенты Ламе.
24. Градиент, дивергенция и ротор в сферических координатах
Градиент
Коэффициенты Ламе:
.
Отсюда:
Дивергенция
Коэффициенты Ламе:
.
Отсюда:
Ротор
где Hi — коэффициенты Ламе.
25. Градиент, дивергенция и ротор в цилиндрических координатах
Градиент
Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Дивергенция
Коэффициенты Ламе:
.
Отсюда:
26. Оператор Лапласа в криволинейных координатах
Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию .
Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков)потенциального векторного поля в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.
В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве :
где — коэффициенты Ламе.