28.Приведене квадратичной формы к каноническому виду(Лаграндж)
Данный
метод состоит в последовательном
выделении в квадратичной форме полных
квадратов. Пусть
есть
данная квадратичная форма. Возможны
два случая:
хотя
бы один из коэффициентов aii
при квадратах отличен от нуля. Не нарушая
общности, будем считать
(этого
всегда можно добиться соответствующей
перенумерацией переменных);
все
коэффициенты
,
но есть коэффициент
,
отличный от нуля (для определённости
пусть будет
).
В
первом случае преобразуем квадратичную
форму следующим образом:
,
где
,
а через
обозначены
все остальные слагаемые.
представляет
собой квадратичную форму от n-1 переменных
.
С
ней поступают аналогичным образом и
так далее.
Заметим,
что
Второй
случай заменой переменных
сводится
к первому.
Теорема.
Если
—
произвольная квадратичная форма в
n-мерном линейном пространстве Ln,
то в этом линейном промтранстве существует
базис, в котором квадратичная форма
приводится к сумме квадратов.
На
лекции алгоритм приведения квадратичной
формы к сумме квадратов выделением
полных квадратов продемонстрирован на
примере.
Определение.
Если
квадратичная форма
в
некотором базисе имеет вид
То
говорят, что она записана в этом базисе
в канонической
форме.