28.Приведене квадратичной формы к каноническому виду(Лаграндж)

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

хотя бы один из коэффициентов a_ii при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где

, а через обозначены все остальные слагаемые.

представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что

Второй случай заменой переменных сводится к первому.

Теорема. Если — произвольная квадратичная форма в n-мерном линейном пространстве L_n, то в этом линейном промтранстве существует базис, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов.

На лекции алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов выделением полных квадратов продемонстрирован на примере.

Определение. Если квадратичная форма в некотором базисе имеет вид

То говорят, что она записана в этом базисе в канонической форме.