22.Собственные значения и собственные векторы матрицы

Число λ называется собственным значением (или характери­стическим числом) квадратной матрицы А порядка n, если можно подобрать такой n-мерный ненулевой вектор x, что Ax= λx

Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения |А – λЕ|=0, где λ — неза­висимая переменная. Если раскрыть определитель |А – λE|, то получится многочлен n-ой степени относительно λ:

|А – λЕ|=

|a₁₁-λ a₁₂ … a_1n|

|a₂₁ a₂₂-λ … a_2n|

……………

|a_n1 a_n2 … a_nn-λ|

=a_nλⁿ+a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+a₀

Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Его коэффициенты a_n, a_n-1, …, a₀ зависят от элементов матрицы А. Отметим, что a_n=(-1)ⁿ, a₀=|A|. Ура­внение |А – λЕ|=0называется характеристическим уравнением матрицы А.

Ненулевой вектор х называется собственным вектором квад­ратной матрицы А, принадлежащим ее собственному значению λ, если Ax=λx.

Множество всех собственных векторов матрицы А, принад­лежащих ее собственному значению λ, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений (A - λE)x=0, записанной в векторно-матричной форме.

Число различных собственных значений квадратной матрицы не превышает ее порядка.

Собственные векторы квадратной матрицы, принадлежащие ее различным собственным значениям, линейно независимы.

Ортогональная матрица может не иметь действительных со­бственных значений.

Симметрическая матрица всегда имеет действительное собственное значение.

Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежа­щие различным собственным значениям, ортогональны.

Свойства векторов.

1) + = + - коммутативность.

2) + ( + ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) () = ( ) – ассоциативность

6) (+) =  +  - дистрибутивность

7) ( + ) =  + 

8) 1 =

В связи с этим можно записать следующие свойства:

- равные векторы имеют одинаковые координаты,

- при умножении вектора на число его

- компоненты тоже умножаются на это число,

= .

- при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

; ;

+ = .

23,ортогональная и ортонормированная система векторов.

С помощью скалярного произведения в произвольном евклидовом пространстве вводится понтие ортогональности произвольных векторов.

Определение. Векторы из произвольного евклидова пространства называются ортогональными, если

Определение. Система векторов евклидова пространства называется ортогональной, если векторы системы попарно ортогональны.

Определение. Ортогональная система векторов n-мерного евклидова пространства называется ортонормированной, если все векторы системы имеют единичную длину.

Теорема. Любая ортогональная система векторов линейно независима.

Доказательство.

Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых векторов e 1, e 2, ..., e n. Предположим, что для некоторых действительных коэффициентов α1, α2 ,..., αn выполняется равенство α1 e 1 + α2 e 2 +...+ αn e n = 0 .

Умножим это равенство скалярно на любой из базисных векторов, например, на вектор e i : (α1 e 1 + α2 e 2 + ... + αn e n , e i ) = ( 0, e i ). Поскольку скалярное произведение нулевого вектора на любой другой вектор равно нулю, правая часть этого равенства равна нулю. Преобразуя левую часть, получаем

α1( e 1, e i ) + α2( e 2, e i) + ... + αn( e n , e i ) = 0. Так как система векторов ортогональна, все слагаемые слева, кроме одного, равны нулю, т. е.αi( e i, e i) = 0. Вектор e i ненулевой и его скалярный квадрат ( e i, e i) ≠ 0,значит, αi = 0. Поскольку индекс i можно выбирать произвольно, то все коэффициенты αi являются нулевыми, а следовательно, система векторов e 1 , e 2, ..., e n является линейно независимой.

Утверждение теоремы позволяет определить в произвольном евклидовом пространстве некоторые базисы специального вида.

Определение. Ортогонормированная система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если все векторы системы имеют единичную длину.