12.Определения: графа, ориентированного и неориентированного графов. Элементы графа и отношения между ними. Виды графов. Изоморфность графов.

В математической теории графов и информатике граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин.

Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.

Граф или неориентированный граф G — это упорядоченная пара G: = (V,E), для которой выполнены следующие условия:

V этонепустое  множество вершин или узлов,E это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.

Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная пара G: = (V,A), для которой выполнены следующие условия:

V этонепустое множество вершин или узлов,A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга   ведёт от вершины v к вершинеw. Смешанный граф G — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой G: = (V,E,A), где V, Eи A определены так же, как выше. Определение. Два графа G и H называются изоморфными, если существует биекция f: V(G) → V(H), сохраняющая смежность, т.е. такое биективное отображение, при котором образы вершин v и u графа G смежны в H тогда и только тогда, когда u и v смежны в графе G. Отображение f, обладающее указанным свойством,  называется изоморфизмом.

13.Способы задания графа.

 Графы принято изображать рисунками, состоящими из точек, называемыми вершинами, и линий, называемыми дугами,соединяющими две вершины графа.

Форма дуг несущественна, важен только сам факт соединения вершин. Дуги могут пересекаться, но точки пересечения не являются вершинами графа.

 Если дуги имеют направление (ориентацию), отмеченное стрелкой, то такие графы называются ориентированными или орграфами.Дуги графа часто называют ребрами.

Способы задания графа:

Явное задание графа как алгебраической системы.

Геометрический

Матрица смежности

Матрица инцидентности

14.Определения: сети, пропускной способности дуги, потока по сети, источника и стока. Задача о величине максимального потока по сети и алгоритм её решения. Теорема Форда-Фалкерсона.

Теорема Форда—Фалкерсо́на — теорема о максимальном потоке в графе. Достаточность: любой поток между вершинами t и s меньше или равен величине любого сечения. Пусть дан некоторый поток и некоторое сечение. Величина данного потока складывается из величин "грузов", перевозимых по всем возможным путям из вершины t в s. Каждый такой путь обязан иметь общее ребро с данным сечением. Так как по каждому ребру сечения суммарно нельзя перевести «груза» больше, чем его пропускная способность, поэтому сумма всех грузов меньше или равна сумме всех пропускных способностей рёбер данного сечения. Утверждение доказано.

Отсюда следует, что любой поток меньше или равен величине минимального сечения, а значит и максимальный поток меньше или равен величине минимального сечения.

На этой теореме основан алгоритм Форда–Фалкерсона поиска максимального потока в графе, он же является доказательством необходимости данной теоремы.

Сетью называют взвешенный орграф с двумя выделенными верши-

нами: истоком и стоком. Исток имеет нулевую полустепень захода, а

сток нулевую степень исхода. Вес дуг означает как правило пропускную

способность дуги