8.Свойства операций над множествами, свойства элементарных булевых функций (доказать два свойства). Приоритет операций над множествами.

Свойства операций над множествами:

Сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения, объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

10.Многочлен Жегалкина. Теорема Жегалкина. Алгоритмы построения многочлена Жегалкина.

По теореме Жегалкина каждая булева функция единственным образом представляется в виде полинома Жегалкина. Теорема доказывается следующим образом. Заметим, что различных булевых функций от n переменных   штук. При этом конъюнкций вида   существует ровно 2n, так как из n возможных сомножителей каждый или входит в конъюнкцию, или нет. В полиноме у каждой такой конъюнкции стоит 0 или 1, то есть существует   различных полиномов Жегалкина от n переменных. Теперь достаточно лишь доказать, что различные полиномы реализуют различные функции. Предположим противное. Тогда приравняв два различных полинома и перенеся один из них в другую часть равенства, получим полином, тождественно равный нулю и имеющий ненулевые коэффициенты. Тогда рассмотрим слагаемое с единичным коэффициентом наименьшей длины, то есть с наименьшим числом переменных, входящих в него (любой один, если таких несколько). Подставив единицы на места этих переменных, и нули на места остальных, получим, что на этом наборе только одно это слагаемое принимает единичное значение, то есть нулевая функция на одном из наборов принимает значение 1. Противоречие. Значит, каждая булева функция реализуется полиномом Жегалкина единственным образом.

По сравнению с ДНФ в полиноме Жегалкина отсутствуют операции ИЛИ и НЕ. Таким образом, полином Жегалкина можно получить из ДНФ, выразив операции ИЛИ и НЕ через операции Исключающее ИЛИ, И и константу 1. Для этого применяются следующие соотношения:

Ниже приведён пример преобразования ДНФ в полином Жегалкина:

При преобразованиях использованы соотношения:

Полином Жегалкина это форма представления логической функции с помощью Функции Жегалкина (Исключающее ИЛИ). Для получения полинома Жегалкина следует выполнить следующие действия:

Получить ДНФ функции

Все ИЛИ заменить на Исключающее ИЛИ

Во всех термах заменить элементы с отрицанием на конструкцию: («элемент» «исключающее ИЛИ» 1)

Раскрыть скобки по правилам алгебры Жегалкина и привести попарно одинаковые термы

11.Линейные и нелинейные булевы функции. Алгоритм определения линейности (или нелинейности) булевой функции.

Необходимое условие линейности.  Если функция линейна и не равна некоторой постоянной, то на половине своих наборов она равна 1.  Если в векторе значений функции число 0 и 1 различно, то функция обязательно нелинейна, а если число нулей совпадает с числом единиц, то эта функция может быть линейной, а может быть и нелинейной. В таком случае, чтобы это проверить, нужно выписать для нее многочлен Жегалкина.  Функция называется самодвойственной, если двойственная к ней функция является самой этой функцией. F* = F. 

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой или СДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных называется такая ДНФ, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного набора, причём в одном и том же порядке. Например:  .Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ), относительно некоторого заданного конечного набора переменных, называется такая КНФ, у которой в каждую дизъюнкцию входят все переменные данного набора, причём в одном и том же порядке. Поскольку (С)КНФ и (С)ДНФ взаимодвойственны, свойства (С)КНФ повторяют все свойства (С)ДНФ, грубо говоря, «с точностью до наоборот».