Метод (правило) Крамера

Розглянемо систему лінійних рівнянь, в якій число рівнянь співпадає з числом невідомих

Для систем з квадратною матрицею коефіцієнтів справедлива наведена нижче теорема.

Теорема. Якщо визначник матриці коефіцієнтів системи  = det A відмінний від нуля (тобто r(A) = n), то система сумісна і має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами

,

де _j - допоміжний визначник, який отримується з визначника  шляхом заміни j -го стовпця стовпцем вільних членів, (j = ).

Доведення.

Оскільки   0, то матриця коефіцієнтів системи А невироджена і має обернену А^-1, причому матриця А^-1 буде єдиною.

Ліву та праву частину системи

А  Х = В

помножимо на А^-1 зліва. Тоді отримаємо

А^-1  А  Х = А^-1  В,

Е  Х = А^-1  В,

Х = А^-1  В.

Останню рівність запишемо в координатній формі

.

Зауважимо, що співвідношення b₁A_1j + b₂A_2j + ...+ b_nA_nj є нічим іншим, як розкладанням визначника _j за елементами j-го стовпця.

Таким чином,

, (j = )

є єдиним розв’язком вихідної системи рівнянь.

Метод послідовного виключення невідомих або метод Гауса.

Є лінійна система. Для вирішення неоднорідної системи лінійних рівнянь n-го порядку застосовуємо метод Гауса.

Ідея цього методу полягає в еквівалентному перетворенні розширеної матриці [А, b] розміру n  (n+1) до верхньої трикутної матриці [U, y] , де y –перетворений стовпець вільних членів.

.

Перетворена система буде мати вигляд:

Звідси на підставі x_n = y_n , послідовно знаходимо x_n-1, x_n-2, ...,x₂, x₁ за, формулою:

Отже, метод Гауса має два етапи:

1) побудова трикутної матриці U (прямий хід);

2. отримання рішення системи x (зворотній хід).

Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою методу Гауса.

Прямий хід:

…. .

Перетворена система рівнянь має вигляд:

Зворотній хід:

x₃ = 3;

x₂ = 3 - x₃ = 3 -  3 = 2;

x₁ = + x₂ - x₃ = +  2 -  3 = 1.

Метод Гауса - Жордано

Метод Гауса-Жордано - це різновидність метода виключення. Маємо розширену матрицю [A,b]. Якщо виключення виконати так само, як при обернені матриці, то у результаті матриця А перетворюється в одиничну, а

b - це стовпець, елементи якого дорівнюють значенням шуканих величин x_1,, x₂,...,_..x_n. Тобто [A, b]  перетвориться в  [E_n , y]. Так для розглянутого прикладу маємо:

, звідси x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3.

Розв’язування лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

Знаходимо обернену матрицю зав допомогою методу виключення:

.

Рішення рівняння АХ = В можна представити через обернену матрицю

Х = А^-1 В. Звідси:

Х = ;

;

;

.

Невизначена система.

У загальному випадку, коли число рівнянь m не дорівнює числу невідомих n, також можемо провести процедуру виключення, причому у процесі її реалізації виявляється і характер системи. Перетворення розширеної матриці системи також проводять за допомогою методу Гауса - Жордана.

При розв’язанні систем лінійних алгебраїчних рівнянь досить часто виявляється, що визначник матриці коефіцієнтів системи перетворюється в нуль або число рівнянь m не дорівнює числу невідомих n, тобто m  n. У зв’язку з визначеним необхідно зауважити, що розв’язування будь-якої системи лінійних алгебраїчних рівнянь повинно починатися із з’ясування питання про сумісність. Отже, розв’язки системи рівнянь повинні починатися з досліджень за схемою:

1. Дослідити, вихідна система рівнянь є сумісною чи несумісною (тобто, чи має вихідна система розв’язки взагалі).

2. Якщо вихідна система сумісна, то необхідно дослідити: має така система єдиний розв’язок чи їх незчисленна множина.

3. Якщо сумісна система має незчисленну множину розв’язків, то необхідно описати усю сукупність розв’язків.

Питання про сумісність системи лінійних алгебраїчних рівнянь розв’язує теорема Кронекера-Капеллі.. На відміну від теореми Крамера, ця теорема не є конструктивною, оскільки вона не дає співвідношення для визначення коренів системи рівнянь, Проте вона має дуже велике значення.

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці коефіцієнтів систем рівнянь дорівнює рангу розширеної матриці: r(A) = r( ).

Приклад. Виконати загальне дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розв’язок

1. Випишемо розширену матрицю системи і виконаємо відповідні гаусові виключення.

= .

.

2. На підставі аналізу матриці

можна зауважити, що:

• r(A) = 2; r( ) = 2, таким чином, r(A) = r( ), і вихідна система сумісна;

• r = 2; n = 4, отже, вихідна система буде мати незчисленну множину розв’язків, і завдання її дослідження буде полягати в тому, щоб описати цю множину;

• вихідна система буде мати дві (r = 2) базові змінні і дві (n - r = 4 - 2 = 2) вільні змінні.

3. На підставі матриці

можна записати еквівалентну систему відносно вихідної:

Очевидно, що за базисні змінна слід прийняти змінні х₁ та х₂, а вільними будуть змінні х₃ та х₄ .

4. Опишемо деяку сукупність частинних розв’язків. Для цього вільним змінним (х₃ , х₄ ) надамо деякі числові значення і обчислимо значення базисних змінних (х₁, х₂). Результати внесемо до таблиці.

x1	x2	x3	x4
1/11	2/11	0	0
-13/11	-4/11	1	0
-1	1	1	1