Обернена матриця. Основні поняття та означення. Умови існування оберненої матриці

Нехай А - квадратна матриця n-го порядку:

,

а Е - одинична квадратна матриця того ж порядку.

Означення. Оберненою відносно заданої квадратної матриці А називається матриця А^-1, яка після множення на вихідну матрицю А як зліва, так і справа дає одиничну матрицю. Отже,

А^-1  А = А  А^-1 = Е.

Означення. Квадратна матриця називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник відрізняється від нуля, тобто det A  0. У випадку, коли det A = 0, матриця називається особливою, або сингулярною.

Означення. Приєднаною матрицею А⁺ до матриці А називається матриця, що отримується з матриці А заміною її елементів алгебраїчним доповненням з наступним транспонуванням. Отже:

А⁺ = .

Якщо матриця А симетрична, то приєднана до неї матриця А⁺ та обернена А^-1 також симетричні. Звідси справедливі співвідношення:

.

Властивості оберненої матриці.

1. Якщо для матриць А,В існують А^-1, В^-1, то існує (АВ)^-1 = А^-1 В^-1.

2. Визначник оберненої матриці дорівнює величині оберненої до визначника вихідної матриці, тобто

det A^-1 = .

3. Транспонована оберненої матриці дорівнює оберненій від транспонованої даної матриці, тобто

(А^-1)^t = (A^t)^-1.

4. (А^-1)^-1 = А.

5. Якщо А і В неособливі (невироджені) матриці, то

(А + В)^-1 = А^-1 + В^-1.

6. Якщо D = diag [d₁, d₂, ..., d_n], то

D^-1 = diag .

7. Матриця А, яка дорівнює своїй оберненій називається інволютивною (взаємно оберненою), тобто для неї виконується умова А = А^-1, або

АА = А² = 1. В частковому випадку, одинична матриця є інволютивною, так як E_n = E_n^-1. Із співвідношення витікає, що визначник інволютивної матриці дорівнює  1.

Обчислення оберненої матриці.

Існує багато способів обчислення оберненої матриці. Найбільш поширеними з них є метод приєднаної матриці, метод елементарних перетворень, метод жорданових виключень і т.д.

Метод приєднаної матриці.

Для знаходження оберненої матриці за цим методом доцільно використовувати такий алгоритм:

1. Обчислюємо визначник вихідної матриці А. Коли det A= 0, то оберненої до заданої не існує. У випадку коли det A  0 обернена до даної існує і переходимо до п.2.

2. Замість кожного елемента вихідної матриці обчислюємо та ставимо його алгебраїчне доповнення.

3. Отриману матрицю транспонуємо (тим самим формуємо приєднану матрицю).

4. Кожний елемент отриманої матриці ділимо на визначник початкової матриці і отримуємо матрицю, обернену даній

Приклад. Обчислити обернену матрицю відносно заданої.

А = .

1. Обчислимо визначник заданої матриці.

det A = = = -2 (-1)³⁺² = -2 (10 - 12) = -4.

Отже, обернена відносно заданої існує.

2. Замість кожного елемента вихідної матриці ставимо її алгебраїчне доповнення.

.

3. Формуємо приєднану матрицю.

A⁺ = .

4. Отримуємо обернену матрицю відносно заданої.

А^-1 = =