- •Формула вычисления криволинейного интеграла 2-го рода. Пример.
- •2. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования(док).
- •3. Потенциальное поле, условие потенциальности в односвязной области на плоскости. Связь с независимостью криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •4. Криволинейный интеграл l-го рода, его механический смысл. Вычисление, пример.
- •5. Поверхностный интеграл 1-го рода, его механический смысл. Вычисление. Те- орема существования.
- •7. Вычисление поверхностного интеграла 2-города.
- •8.Дивергенция векторного поля, Формула Остроградского-Гаусса. Пример.
- •9.Ротор векторного поля, формула Стокса.
- •10. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Примеры. Необходимое условие
- •11.Свойства числовых рядов (док).
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (док). Пример.
- •Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Пример.
- •15.Функциональные ряды и их свойства.
- •16.Степенные ряды, теорема Коши-Адамара (без д-ва), Пример. Теорема о правильной сходимости степенного ряда (док).
- •17. Непрерывность суммы степенного ряда, почленное интегрирование и диффе- ренцирование степенного ряда (док) ..
- •18. Ряд Тейлора, теорема о разложении элементарных функций в ряд Тейлора.
- •Ряд Фурье. Теорема Дирихле о разложении функции в ряд Фурье. Пример.
- •20.Ряд Фурье для четных и нечетных функций, для 2l-периодических функций (док). Пример.
- •21. Дифференциальные уравнения l-го порядка. Основные определения, теорема существования и единственности. Пример .
- •22.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример.
- •23.Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Пример.
- •24.Линейные дифференциальные уравнения l-го порядка. Пример. Уравнения в полных дифференциалах. Пример.
- •25. Дифференциальные уравнения 2-го порядка.' Основные определения, теореме, существования и единственности. Пример.
- •6. Поток векторного поля через поверхность, поверхностный
4. Криволинейный интеграл l-го рода, его механический смысл. Вычисление, пример.
т. Мо- материальная точка кривой; Δl длина и дуга кривой, которой принадлежит т. М0; Δm –масса кусочка Δl
Если существует конечный limΔl->0Δm/ Δl=j(М0) [М0 cΔl]он наз-ся линейной плотностью кривой в М0. Будем полагать, что известно j(М0)-непрерывная функция(m ищем по плоскости). Разобьём кривую l последовательностью А0 А1,… Аn на каждой из малых дуг (Аi-1 Аi) c Mi(xi yi zi)i=1…n j(М) непрерывна
Из определения линейной плотности вытекает что в случае однородной материальной кривой m=l* j0
j0-постоянная,т.к. j(М)= limΔl->0Δm/ Δl
Обозначим Δmi дуги Аi-1 Аi, , m=i=1Σn Δmi
Будем считать. Что Аi-1 Аi настолько малы, что
j(М)= j(Мi)это приближенное равенство тем точнее, чем меньше дуга Аi-1 Аi(это достигается увеличением числа точек Аn), поэтому обоз-в Δli длину Аi-1 Аi можем восп-ся m=l* j0 => m= Δli* j(Мi). Тогда m = i=1Σn j(Мi)* Δli обозначим λ=мах i=1(diam Аi-1 Аi) – ранг разбиения кривой n→∞,если λ→0, то длина Аi-1 Аi→0.
Если существует конечный limλ→0 i=1Σn j(Мi)* Δli=m. j(М) = j(x,y,z) в кач-ве jможем взять любую фун-ию заданную кривой j. Составим интегральную сумму и рассмотрим её предел при
λ→0, если он существует и конечен и не зависит ни от способа разбиения кривой Г, ни от способа выбора т Мi, то он наз-ся криволинейным 1-ого рода от фун-ии Г и обоз-ся:
Г∫ j(М)dl = Г∫ j(x,y,z)dl
Теорема существования:
] кривая Г задана параметрически (x(t),y(t),z(t)) – непрер диффир) Тогда j(М) непрер на Г, то существ Г∫ j(М)dl. Формула для вычисления интеграла 1-ого рода. При выполнении условий теор существ мб доказана след формула:
Г∫ j(М)dl= a∫b j(x(t),y(t),z(t))*√ ((x’(t))2, (y’(t))2, (z’(t))2)dt
Пример:
] Г задана ур-ями x=a*cost y=asint z=t t[0,2п] Г мат крив и имеет плот-ть j(x,y,z)=z+1
m= Г∫ (z+1)dl = 0∫2п((t+1)√a2sin2t+a2cos2t+1)dt =√a2+10∫2п((t+1)dt=t2/2+t 0|2п=2п(2п+1)√a2+1
5. Поверхностный интеграл 1-го рода, его механический смысл. Вычисление. Те- орема существования.
Обозначим m-массу материальной пов-ти S Будем считать, что из-тна j(M) в каждой т M M0 cS ΔS → M0.
diam ΔS обозначим Δm-массу кусочка ΔS ΔS=Δm/ ΔS
Если существует конечный lim Δm/ ΔS {M0 cS, diam ΔS->0} –наз-ся плотностью =j(M0)
j(M)-непрер на S. Заметим, что в случае однородности повер-ти m=j0*S
j0 – плоскость. Разобьём поверхность S=U1Si. В каждом ΔSi берем точки Mi
ΔSi-> Mi(xi yi zi)i=1…n Из непрерывности j(М)
=>что j(М) j(Мi) для любого М с j(M0), если
diam ΔSi мал. Равенство тем точнее, чем меньше diam ΔSi λ=max(diam ΔSi) –ранг разбиения поверхности. Обозначим Δmi – масса ΔSi =>можно применить в приближенном варианте формулу m=j0*S.
Δmi = j(Mi)* ΔSi=> m= i=1Σn Δmi =
i=1Σn j(Mi)* ΔSi. Это равенство тем точнее, чем меньше λ. Поэтому естественно считать, что m= limλ→0 i=1Σn j(Мi)*ΔSi
Если j(М)-произвольная функция , заданная на поверхности S и существует конечный limλ→0 i=1Σn j(Мi)*ΔSi и он не зависит ни от способа разбиения ни от способа выбора т. Mi, то он наз-ся поверхностным интегралом первого рода по поверхности S и обоз-ся
∫∫S j(М)ds.
Вычисление: S: z=φ(x,y)-непрер диффир в Ъ x=x y=y
∫∫S j(x,y,z)ds=∫∫Ъ j(x,y, φ(x,y))* √1+ (φx’(x,y))2+(φy’(x,y))2 dxdy
Теорема существования:
S-гладкая поверхность. ПИ 1рода существует, если j(M)-непрерывна на S.