Тема 1. Числовые множества и последовательности.
1. Определения
Сформулируйте определение:
ограниченного множества вещественных чисел;
Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.
1.Если числовое множество ограниченно сверху, то оно имеет точную верхнюю границу.
2.Если числовое множество ограниченно снизу, то оно имеет точную нижнюю границу.
Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда существует такое число А≥0, такое что любое n |xn| ≤ A.
ограниченного сверху множества вещественных чисел;
Множество является ограниченным сверху если существует число такое, что для любого из множества ,
ограниченного снизу множества вещественных чисел;
Множество является ограниченным снизу если существует число такое, что для любого из множества ,
неограниченного множества вещественных чисел;
Множество {х} называется неограниченным, если каково бы ни было положительное вещественное число А, найдётся элемент х* этого множества, такое, что |x*|>A.
неограниченного сверху множества вещественных чисел;
Последовательность ограничена сверху, если все ее элементы принадлежат промежутку ( - ∞, M]
неограниченного снизу множества вещественных чисел;
Последовательность ограничена снизу, если все ее элементы принадлежат промежутку [m, + ∞)
окрестности данной точки;
окрестность точки «С» называется любой интервал, содержащий точку «С».
(С-є;С+ є)
є –окрестности данной точки
эпсилон окрестностью точки x0 называется интервал длины 2 с центром в точке x0
є- радиус окрестности, окрестность точки «С»
проколотой окрестности данной точки;
проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если
где V — окрестность x.
предельной точки числового множества;
Предельной точкой некоторого множества А называется точка, в любой окрестности которой содержатся точки множества А.
верхней грани числового множества;
Если — ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется верхней гранью. ("супремум")
нижней грани числового множества;
Если — ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется нижней гранью. ("инфимум")
точной верхней грани числового множества;
число х(с палочкой сверху) называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества {х}, если
1)для всех элементов множества {х} справедливо х≤х(с палочкой сверху);
2)для любого положительного (коль угодно малого) вещественного числа є найдётся хотя бы один элемент х* множества {х}, удовлетворяющий неравенство х(с палочкой сверху)-є < х*≤ х(с палочкой сверху)
наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества {х} называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом х=sup{x} (supremum-наивысшее)
точной нижней грани числового множества;
число х(с палочкой снизу) называется точной нижней гранью ограниченного снизу множества {х}, если
1)для всех элементов множества {х} справедливо х≥х(с палочкой снизу);
2)для любого положительного (коль угодно малого) вещественного числа є найдётся хотя бы один элемент х* множества {х}, удовлетворяющий неравенство х(с палочкой снизу) ≤ х* < х(с палочкой сверху)+ є
наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества {х} называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом х=inf{x} (infimum-наинизшее)
числовой последовательности;
пусть каждому натуральному числу nєN поставлено в соответствие по определённому правилу или закону вещественное число хn. Тогда множество занумерованных вещественных чисел х1, х2, х3,…, хn, … называется числовой последовательностью.
ограниченной последовательности;
Числовая последовательность {хn} называется ограниченной, если существуют числа m и M, такие, что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенствам
m ≤ xn ≤ M.
неограниченной последовательности;
Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.
(xn) неограниченная
многотонной последовательности;
числовая последовательность {xn} называется монотонной (неубывающей или невозрастающей), если для любого nєN справедливо xn+1<xn или xn+1>xn.
предела последовательности;
Число называется пределом последовательности , если:
Записывают:
бесконечно малый последовательности;
числовая последовательность {an} называется БМП, если для любого положительного вещественного числа є (сколь бы малым оно ни было) существует номер n°, зависящий от є, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n≥n°(є), справедливо |аn|< є.
бесконечно большой последовательности;
числовая последовательность называется ББП, если для любого положительного вещественного числа А (сколь бы большим оно ни было) существует номер n° зависящий от А, такой, что для всех элементов с номерами, удовлетворяющими неравенству n≥n° справедливо |xn|>A.
2. Основные теоремы (без доказательства)
Сформулируйте:
2.1 теорему о пределе суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей;