- •1 Уравнения 2-го порядка с частными производными. Классификация. Приведение к каноническому виду.
- •2.Основные физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Волновое уравнение. Уравнение колебаний струны.
- •3. Постановка краевых задач. Предельные случаи.
- •4 Бесконечная струна. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера.
- •5.Метод разделения переменных для уравнений гиперболического типа
- •6 Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных функций и собственных значений.
- •7.Неоднородное уравнение колебаний струны. Функция Грина.
- •8. Учет различных видов неоднородностей в начальных и граничных условиях.
- •9.Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач. Предельные случаи
- •10.Метод разделения переменных для уравнений параболического типа.
- •11.Неоднородные уравнения, граничые и начальные условия в задачах параболического типа. Функция Грина (Функция источника)
- •12.Физические Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа. Постановка краевых задач предельные случаи.
- •13.Уравнение Лапласа. Фундаментальные решения. Случай сферической симметрии
- •14.Формула Грина. Гармонические функции и их свойства.
- •15.Задача колебаний круглой мембраны. Диференциальные уравнения Бесселя. Функции Бесселя и их свойства.
- •16.Уравнение Гельмгольца.Фундаментальные решения. Интегральные формулы (грина)
- •17.Полиномы Лежандра и их свойства.
- •19.Обобщенные функции и их свойства. Дельта функция, разложение в интеграл Фурье
- •20.Уравнение для функции грина c использованием δ-функции
- •21.Нелинейные уравнения, физические и математические причины нелинейности.
- •22.Уравнения римана, кортевега де Вриза и их решения. Физическая инерпретация. Уединеные волны, солитоны.
12.Физические Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа. Постановка краевых задач предельные случаи.
При исследовании стационарных процессов различной физической природы(колебания, теплопроводность, диффузия и др.)обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Если рассматривать электричество, то уравнение Максвелла превращается в стационарном режиме в
Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный поверхностью Σ. Задача о стационарном распределении температуры U(x,y,z) внутри V формируется следующим образом:
Найти функцию U(x,y,z), удовлетворяющую внутри V уравнению
ΔU=-f(x,y,z) и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:
U=f1 на Σ 1-я краевая задача
на Σ 2-я краевая задача
на Σ 3-я краевая задача
f1,f2,f3,h – заданные функции
производная на внешней нормали к Σ.
13.Уравнение Лапласа. Фундаментальные решения. Случай сферической симметрии
Уравнение Лапласа имеет вид
ΔU=0
Решение уравнения Лапласа U=U(r), образ. сферической симметрией, будет определяться из обыкновенного дифференциального уравнения:
Интегрируя находим U=-C/r+C/
Решение U0=1/r часто называют фундаметальным решением уравнения Лапласа в пространстве.
В случае цилиндрической симметрии
U=C lnρ+ C/ - как поле заряженной нити
Функцию U0(f)=ln1/ρ часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.
14.Формула Грина. Гармонические функции и их свойства.
При изучении уравнении эллиптического типа часто пользуются формулами Грина.
1-я формула Грина
U=U(x,y,z) U=U(x,y,z)
2-я формула Грина
В качестве функции U возьмем
M-произвольная точка
M0-фиксированная точка
Если допустить, что U – решение уравнения Лапласа ΔU=0, то
Если бы мы добавили к уранению граничные условия, то значения подынтегральной функции были бы известны и мы бы получили решение уравнения Лапласа с соответствующими граничными условиями.
ΔU=0 U|Σ |Σ
Функция удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией
3-я (основная) формула Грина
Свойства гармонических функций
Интеграл по поверхности любой гармонической функции равен 0.
Пусть Σ сферическая поверхность с радиусом a M0 центр
- теорема о среднем
Значение функции в точке M0 равно среднему значению этой функции на любой сфере радиуса а с центром в М0
Аналогично
Принцип максимального значения
15.Задача колебаний круглой мембраны. Диференциальные уравнения Бесселя. Функции Бесселя и их свойства.
U(x,y,t)-отклонение от положения равновесия. Колебания описываются функцией U.
Будем считать, что наша задача подчиняются волновому уравнению.
Задача обладает сферической симметрией, поэтому удобно работать в полярных координатах
U(r,φ)|r=a=0 – мембрана закрепленная по периметру.
U|t=0=f(r,φ) Ut|t=0=g(r,φ)
Решаем задачу разделения переменных
U(r,φ,t)=U(r,φ)T(t)
T=A cos(λct)+Bsin(λct)
Т.к. 2-е уравнение содержит 2 переменные, то
U(r,φ)=R(r)Ф(φ)
Получим
Ф(2)+p2Ф=0 Ф=Сcos(pφ)+Dsin(pφ)
r2R(2)+rR/+(r2λ2-p2)R=0
физически 0≤φ≤2π
Функция периодична при целом P
Фn=Cncos(nφ)+Dnsin(nφ)
U|r=a=R(a)T(t)Ф(φ)=0
R(a)=0
r2R(2)+rR/+(r2λ2-n2)R=0 – уравнение Бесселя с начальным условием
R(r)=G1In(λr)+ G2In(λr)
G2=0 ввиду конечности решения
In(λа)=0 In(аm(n))
λnm=am(n)/a
Окончательно
U(r,φ,t)=ΣCn,mIn(λn,mr)exp(in φ +I λ t)
Уравнение Бесселя имеет вид
x2y(2)+xy/+(x2-v2)y=0, где v – параметр задачи(может быть конечным).Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
y=C1Yv(x)+ C2Vv(x)