6 Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных функций и собственных значений.

Сформулированную выше задачу называют задачей Штурма-Лиувилля.

При λ<=0 задача не имеет нетривиальных решений

При λ>0

Свойства собственных функций и собственных значений.

1) Будем решать такие задачи, что задача Штурма-Лиувилля имеет конечное число решений λ₁, λ₂,…, λ_n X₁,(x),X₂(x),…,X_n(x)

Т.е существует счетное множество собственных значений и функций

2) λ>0 ,k,g,j>0

3)Ортогональность X_n(x)

4)Решение задачи на собственные числа определены до константы.

Иногда контстанту определяют из условия нормировки.

Собственные функции после проведения нормировки и ортогонализации являются ортонормированными.

Совокупность собственных значений называется спектром задачи

Свойство полноты системы (набора собственных функций). Можно разложить F(x) по X_n.

7.Неоднородное уравнение колебаний струны. Функция Грина.

U_tt=a²U_xx+f(x,t)

U(0,t)=0

U(l,t)=0

U(x,0)=φ(x)

U_t(x,0)=ψ(x)

Решение ищем по собственным функциям, полученным при решении однородной задачи

U(x,t)=ΣU_n(t)X_n(x)

a²X⁽²⁾+λ_nX=0

правую часть представляем в том же виде

f(x,t)=Σf_n(t)X_n(x) – т.к. X_n(x) образуют базис

Это выражение можно рассматривать как разложение нуля по ортонормированным функциям. Все коэффициенты равны 0.

U_n(0)=0

U(x,t)=U_n(x,t)+Uoo

Функция Грина не содержит неоднородность f(ζ,t). Это положительная особенность. Реакция внешнего воздействия может быть определена сразу.

8. Учет различных видов неоднородностей в начальных и граничных условиях.

Решим общую краевую задачу

U_tt+a²U_xx=f(x,t)

U(0,t)=μ₁(t) U(l,t)=μ₂(t)

U(x,0)=φ(x) U_t(x,0)=ψ(x)

Общий подход состоит в том, что решение задачи разбивается на несколько частей, т.е. мы сводим более общую задачу к менее общей

U(x,t)=U(x,t)+W(x,t)

W(0,t)=μ₁(t)

W(l,t)=μ₂(t)

Возьмем W(x,t)=μ₁(t)+x/l[μ₂(t)-μ₁(t)]

Тогда получим

U_tt=a²U_xx+f^~(x,t)

U(0,t)=0

U(l,t)=0

U(x,0)=φ^~(x)

U_t(x,0)=ψ^~(x)

Т.е. свели задачу к предыдущей.

9.Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач. Предельные случаи

Задачи, описываемые уравнением параболического типа – это задачи переноса энергии, диффузия, теплопроводность (перенос тепла)

U_t=a²U_xx+f(x,t) – Уравнение теплопроводности

Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия.

Начальное условие одно U(x,0)=φ(x)

Граничные условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе.

1. U(0,t)=μ₁(t)

2. U_x(0,t)=μ₂(t)

3. [U_x+αU]|_x=0=μ₃(t)

В зависимости от типа граничных условий получаем краевые задачи 1,2и3 рода.

Предельные случаи аналогичны случаю для уравнения колебаний струны.

10.Метод разделения переменных для уравнений параболического типа.

U(x,t)=X(x)T(t)

XT⁽²⁾=a²X⁽²⁾T решаем однородную задачу

λ_n=(πna/l)²

T^/+λT=0

С_n найдем исходя из начальных условий

11.Неоднородные уравнения, граничые и начальные условия в задачах параболического типа. Функция Грина (Функция источника)

U_t=a²U_xx+f(x,t)

U(0,t)=0

U(l,t)=0 U(x,0)=φ(x)

Решение задачи …. в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

U(x,t)=Σa_n(t)X_n(x)

f(x,t)=Σf_n(t)X_n(x)

Σ[a_n^/+X_na_n-f_n]X_n=0

Теперь учтем ненулевое граничное условие

U(0,t)=μ₁(t) U(l,t)=μ₂(t)

U(x,t)=U(x,t)+W(x,t)

Будем подбирать W так чтобы граничные условия оказались нулевыми

W(x,t)=x/l μ₂(t)+(l-x)/x μ₁(t)

Вообще говоря, таких функций много, но мы выбираем одну.

Получим новую задачу

U_t=a^2U_xx+a²W+f--W_t

U(0,t)=0

U(l,t)=0

U(x,0)=φ(x)-W(x,0)=φ^~

В случае бесконечного стержня мы имеем