46. Исследование функции на монотонность и экстремумы с помощью производной. Достаточные условия существования экстремума функции в точке.

y=f(х) определена на (а;в). Х₀-критическая точка.Если функция f непрерывна в точке Х₀, а f '(х)>0 на интервале (а;х₀) и f '(х)<0 на интервале (х₀;в), то точка х₀ является точкой максимума функции f.

(Упрощенная формулировка: если в точке Х₀ производная меняет знак с “+” на “ ^_”, то Х₀ есть точка максимума.)

Если функция f непрерывна в точке Х₀, а f '(х)<0 на интервале (а;X₀) и f '(х)>0 на интервале (X₀;в), то точка х₀ является точкой минимума функции f.

(Упрощенная формулировка: если в точке Х₀ производная меняет знак с “^_” на “+”, то Х₀ есть точка минимума.)

Достаточный признак возрастания, убывания функции.

Если f '(х)>0 для всех х из промежутка (а; в), то функция возрастает на промежутке (а; в).

Если f '(х)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

(Если функция непрерывна на конце промежутка, то его можно присоединить к промежутку возрастания (убывания) функции.)

45. Уравнение касательной к графику функции

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.Итак, пусть дана функция y = f(x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f(x₀)

Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f(x₀) — значение самой функции.

44. Производная неявно заданной фунцкции и функции, заданной параметрически.

Производная параметрически заданной функции:Если функция f задана параметрически

x = φ(t), y = ψ(t), α < t < β,

где y = f(x) и функции φ и ψ дифференцируемы, причем φ'(t) ≠ 0, то

Производная неявно заданной функции :Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения

39. Непрерывность функции в точке, классификация точек разрыва.

Определение непрерывности функции в точке. Функция f(x) называется непрерывной в точке  , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке  , то есть 

Следствие. ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ. 

            Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

 

            Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

 

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.