«Колебания и волны»

1. Гармонические колебания (механические и электромагнитные, примеры) и их характеристики. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний и его решения. Энергия гармонических колебаний. Электрический колебательный контур.

Гармонические колебания ( механические и электромагнитные, примеры ) и их характеристики: Колебаниями называются, движения, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются уравнением: x(t) = Acоs( wt + φ₀ ). Физический маятник - твердое тело, которое мо­жет совершать колебательное движение около некоторой оси, не проходящей через его центр тяжести. Математическим маятником называется модель, которая описывает поведение системы, представ­ляющей собой точечную массу m на невесомом стержне длиной L, которая может вращаться вокруг оси, проходящей через один из ее концов. Уравнение математического маятника: φ + w₀²sinφ = 0, w₀ = √g / L. Колебания математического маятника не являются гармоническими, так как вынуждающая сила пропор­циональна синусу угла отклонения , а не углу. При малых отклонениях нити от вертикали колеба­ния математического маятника можно считать гармо­ническими, описываемыми следующей формулой: φ + w₀² = 0. Период колебаний математического маятника определяется следующим соотношением: T = 2π√L / g. Период колебаний зависит не от массы, а от дли­ны нити: чем она длиннее, тем больше период. Груз на пружине. Колебания возникают при смещении груза по оси относительно по­ложения равновесия: φ + w₀²x = 0, w₀ = √k / m. Простейший колебательный электрический контур состоит из конденсатора С и индуктивности L, соединенных между собой. Пусть мы, разомкнув контур, зарядили конденса­тор. Между пластинами конденсатора возникнет электрическое поле, обладающее некоторой энергией. Замкнем теперь конденсатор на индуктивность. Конденсатор начнет разряжаться, и его электрическое поле будет уменьшаться. При этом в контуре возникнет электрический ток, а в катушке индуктивности появится магнитное поле. Через время, равное четверти периода колебаний, конденсатор разрядится полностью, и электрическое поле исчезнет совсем. Но магнитное поле при этом достигнет максимума, т. е. энергия электрического поля перейдет в энергию магнитного поля. Далее магнитное поле будет исчезать, так как нет токов, его поддерживающих. Это исчезающее поле вызовет ток самоиндукции, который поддерживает ток разряда конденсатора и будет, следовательно, направлен так же. Поэтому конденсатор будет перезаряжаться, и между его пластинами появится элек­трическое поле противоположного направления. Через время, равное половине периода колебаний, магнитное поле исчезнет совсем, а электрическое поле достигнет максимума, т. е. энергия магнитного поля вновь превратилась в энергию электрического поля. В дальнейшем конденсатор снова будет разряжаться, и в контуре возникнет ток, направлен­ный противоположно току в предыдущей стадии про­цесса. Через три четверти периода конденсатор вновь разрядится, а энергия электрического поля превратится в энергию магнитного поля, и т. д. Через период колебаний электрическое состояние контура будет таким же, как и в начале колебаний. Процесс периодического изменения напряженности магнитного поля и напряженности электрического поля называется электромагнитными колебаниями. При этом электрическое поле периодически превращается в магнитное, а магнитное опять в электрическое. Сопротивление проводников ≠0, поэтому энергия, запасенная в контуре, расходуется на выделение тепла. Со временем уменьшается и заряд, возникающий в конденсаторе, и электрическое поле, возникающее в конденсатора, и магнитное поле в катушке индуктивности. Следовательно, будет уменьшаться и сила тока в контуре, т. е. колебания будут затухающими. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний и его решение: В цепи, содержащей индуктивность и емкость могут возникать электрические колебания. Эта цепь называется колебательным контуром. Эти колебания и будут свободными и незатухающими. Уравнение: I = dq / dt = q^/ , IR = φ₁ – φ₂ + E , R =0, φ₁ – φ₂ = -q / C , E = -L ( dI / dt )  0 = -q /C – L ( dI / dt )  q^// + q / LC = 0 , w₀ = 1 / √LC  q^// + w₀²q = 0. Решение: q = q_mcos ( w₀t + α ) . Таким образом, заряд на обкладках конден­сатора изменяется по гармоническому зако­ну с определенной частотой. Эта частота называется собствен­ной частотой контура. Период определяется формулой Томпсона: T = 2π√LC. Сила тока опережает по фазе напряжение на кон­денсаторе на π/2. В момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот. U_m = q_m / C , I_m = w₀q_m  U_m = I_m √ L /C. Энергия гармонических колебаний: Энергия гармонических колебаний является суммой энергий электрического и магнитного поля. Энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля, и наоборот. Энергия электрического поля: W = CU_m² / 2, а магнитного: W = LI_m² / 2. Электрический колебательный контур: В цепи, содержащей индуктивность и емкость, могут возникать электрические колебания. Поэтому такая цепь называется коле­бательным контуром. Колебания в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд, либо возбудив в индук­тивности ток (например, путем выключения внешнего магнитного поля, пронизывавшего витки катушки). Воспользуемся первым способом. Присоединим отключенный от индуктивности конденса­тор к источнику напряжения. Это приведет к возникновению на обкладках разноименных зарядов +q и -q (стадия 1). Между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого рав­на 1 / 2 (q²/C). Если затем отключить источ­ник напряжения и замкнуть конденсатор на индуктивность, ем­кость начнет разряжаться и в контуре потечет ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато возник­нет все возрастающая энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия равна LI² / 2. Поскольку активное сопротивление контура равно нулю, полная энергия, слагающаяся из энергий электрического и магнитного полей, не расходуется на нагревание проводов и будет оставаться постоянной. Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а следовательно, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит, и ток достигают наибольшего значения (стадия 2; начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции). В дальнейшем ток уменьшается, и, когда заряды на обкладках достигнут первоначального значения q, сила тока станет равной нулю (стадия 3). Затем те же процессы протекают в обратном направлении (стадии 4 и 5), после чего система приходит в исходное состояние (стадия 5) и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе процесса периодически изменяются (т. е. колеблются) заряд на обкладках, напряжение на конденсаторе и сила тока, текущего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

2. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных, примеры) и его решение. Логарифмический декремент и коэффициент затухания. Добротность колебательного контура. Апериодический процесс.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение:Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают. Уравнение: IR = -q /C – L ( dI / dt ) Разделим все на L. Пусть q// = dI / dt , I = dq / dt = q/ , β = R / 2L, w0 = 1 / √LC  q// + Rq/ / L + w02q = 0  q// + 2βq/ + w02q = 0 . Решение: q = qme-βt cos ( wt + α ) . Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты. При наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более, чем в на π / 2. При R = 0, опережение составляет π / 2.

Логарифмический декремент и коэффициент затухания: Если A(t), A(t+T), амплитуды двух последовательных колебаний то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм логарифмическим декрементом затухания. Логарифмический декремент обратен числу колебаний, совершаемых за время, в течении которого амплитуда уменьшается в е раз. Он является характеристикой контура. Также существует и коэффициент затухания . Он определяет во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за единицу времени.

Добротность колебательного контура:

Добротность определяется как величина, обратно-пропорциональная логарифмическому декременту затухания. Добротность тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз. В случае слабого колебания: Q = ( 1 / R ) * √ LC. Добротность контура показывает во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение.

Апериодический процесс: При увеличении коэффициента затухания  период затухающих колебаний растёт и при =0 обращается в бесконечность, т.е. движение перестаёт быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю когда t . Процесс называется апериодическим.

3. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Векторная диаграмма. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

Векторная диаграмма:Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одинакового направления, значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой. Возьмем ось, которую обозначим буквой х. Из точки О, взятой на оси, отложим вектор длиной х0, образующий с осью угол φ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью w0, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от -х0 до +х0, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону x = x0cos( w0t + φ0 ). Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, с круговой чаете той, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени. Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быт задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фаз колебания.

Биения: Периодические изменения амплитуды колебаний возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами , называются биениями. X = x1 + x2 =[ 2x0cos ( Δwt / 2 )] cos wt. A = | 2x0cos ( Δwt / 2 ) |

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний:

4. Механизм образования механических волн в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Уравнение плоской волны. Длина волны и волновое число. Волновой вектор. Волновое уравнение.

Механизм образования механических волн в упругой среде: Если в каком-либо месте упругой среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовле­каются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

Продольные и поперечные волны: В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивле­нием сдвигу. Поэтому в жидкой, и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Уравнение плоской волны: Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат и времени. Она должна быть периодической как по времени, так и по координатам.

Длина волны и волновое число: Расстояние λ, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Тогда λ = UT, T—период колебаний. Длину волны можно определить также, как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π. Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно x и t вид. Для этого введем величину К, которая называется волновым числом. Волновой вектор: Выразим L через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности. Для этого введем единичный вектор n номали к волновой поверхности. Скалярное произведение n на радиус-вектор любой из точек поверхности равно L. nr = r*cosφ = L , вектор K = kn равный по модулю волновому числу k = 2π / λ и имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором. Волновое уравнение:Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. , где Δ—не дельта, а оператор Лапласа.

5. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс. Резонансные кривые колебательного контура.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение: Колебания возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы называются вынужденными колебаниями. . Уравнение: IR = -q /C – L ( dI / dt ) + Umcos ( wt ). После преобразований: разделим все на L. Пусть q// = dI / dt , I = dq / dt = q/ , β = R / 2L, w0 = 1 / √LC  q// + Rq/ / L + w02q = 0  q// + 2βq/ + w02q = (Um / L ) * cos( wt ). . Решение: q = qm cos (wt-ψ) + qme-βt cos (wt+α ) . Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура в каждый момент времени равна приложенному напряжению.

Напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π / 2, а напряжение на индуктивности опережает ток на π / 2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется по фазе с током.

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний: Амплитуда и фаза вынужденных колебаний задается с помощь прибора, подающего напряжение. Напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π / 2, а напряжение на индуктивности опережает ток на π / 2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется по фазе с током.

Резонанс.Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте рез называется резонансом. Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Такой процесс осуществляется в радиоприемнике.

Резонансные кривые колебательного контура:Для наглядного отображения зависимости силы тока, или напряжения от частоты применяются резонансные кривые. По резонансным кривым можно определьть значение добротности контура. Она определяется: Q = w0 / Δw, где w0 –частота резонанса, Δw—значение резонансной кривой на высоте Im или Um равной √2. Однако эта формула верна лишь при больших значениях добротности, то есть, когда затухание свободных колебаний в контуре мало.