«Электромагнетизм»

1. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчёту полей прямого и кругового токов.

Магнитное поле - особая форма существования материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися электрически заряженными частицами.

Вектор магнитной индукции: Вектор магнитной индукции является количественной характеристикой магнитного поля. Магнитная индукция однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом действующим на рамку с магн. моментом равным единице, когда нормаль перпендикулярна направлению поля. Вектор В в каждой точке Р направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через направление вектора v и точку Р, причем так, что вращение в направлении В образует с направлением v правовинтовую систему. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету полей прямого и кругового токов: Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемых отдельными элементарными участками токов. Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длины dL , Лаплас получил формулу: Магнитное поле прямого тока где b—расстояние между точкой и проводом. Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей. Магнитное поле кругового проводника с током. где b—расстояние между точкой и проводом.

2. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора магнитной индукции) и его применение для расчёта полей соленоида и тороида.

Закон полного тока и его применение к расчету полей соленоида и тороида: Циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на сумму токов охватываемых этим контуром. Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. Внутри соленоида направление линий поля В образует с направлением тока в витках правовинтовую систему. У реального соленоида имеется составляющая тока вдоль оси, а линейная плотность тока изменяется периодически при перемещении вдоль соленоида. Каждая пара витков, расположенных симметрично относительно некоторой плоскости, перпендикулярной к оси соленоида, создает в любой точке этой плоскости магнитную индукцию, параллельную оси. Направление поля внутри соленоида и вне его противоположны. Из параллельности В следует, что поле как внутри так и снаружи соленоида должно быть однородным. Вне соленоида магнитная индукция равна нулю, а внутри поле однородно. Из этих соображений: , где n—число витков. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора. У реального тороида имеется составляющая тока вдоль оси. Эта составляющая создает в дополнение к полю поле, аналогичное полю кругового тока. В силу симметрии вектор В каждой точке должен быть направлен по касательной к контуру. Следовательно циркуляция В равна: . Если контур внутри тороида, то: где R—радиус тороида, r—радиус витка, n—число витков на единицу длины, В—магнитная индукция в точках контура.

3. Теорема о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля (вывод).

Напряженность магнитного поля: Если мы ищем выражение для ротора результирующего поля [▼B] = μ₀ ( j + j_мол ), то у нас возникают проблемы с молекулярными токами, так как плотность молекулярных токов зависит от значений вектора В. Однако существует такая вспомогательная величина, ротор которой определяется лишь плотностью макроскопических токов. Магнитное поле макротоков описывается вектором напряжённости Н. Эта величина описывается формулой Н = (В / μ₀) – J, [ ▼ H] = j, то есть ротор вектора Н равен вектору плотности макроскопических токов, или циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром

4. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных проводников с током. Силы, действующие на контур с током в магнитном поле.

Закон Ампера: На провод с током, находящийся в магнитном поле, действует сила. где α –угол между dL и B, где v—скорость хаотического движения носителя, u—скорость упорядоченного движения. Сила ампера направлена перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы dL и B. Если взять два параллельных проводника, то при одинаковом направлении токов они притягиваются друг к другу, а при различном—отталкиваются.

Взаимодействие параллельных проводников с током: Два паралельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой dF.

Силы, действующие на контур с током в магнитном поле: 1случай: Поле однородно. На элемент контура действует сила: , интеграл по замкнутой поверхности равен нулю, поэтому F = 0. То есть, результирующая сила, действующая на контур в однородном магнитном поле равна 0. а) n перпендикулярен к В . Результирующий вращающий момент относительно любой точки будет одним и тем же: , где r—радиус вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы, p_m=ISn—дипольный магнитный момент. б) n совпадает с B. Сила, действующая на элемент контура определяется по формуле: dF = I[dL, B]. Результирующий момент вычисляется по формуле: , оба интеграла равны нулю. Следовательно N = 0. Итак, в случае, когда векторы р_м и В имеют одинаковое направ­ление, магнитные силы, действующие на отдельные участки конту­ра, не стремятся ни повернуть контур, ни сдвинуть его с места; они лишь стремятся растянуть контур в его плоскости. Если векторы р_м и В имеют противоположные направления, магнитные силы стремятся сжать контур. в) р_м образует угол с В. Вращательный момент, действующий на плоский контур с током в однородном магнитном поле определяется по формуле: N = [ P_m , B]. Параллельная ориентация векторов P_m и B отвечает минимуму энергии, положению устойчивого равновесия контура. 2случай: Поле неоднородно. Так как dF перпендикулярна к В. Силы, приложенные к различным элементам контура, образуют симметричный конический веер. Их результирующая направлена в сторону возрастания В , и втягивает контур в область более сильного поля. Чем сильнее изменяется поле, тем меньше угол веера, тем больше результирующая F. Если изменить направление тока на обратное, то контур будет выталкиваться из поля. Проекция силы на ось Х : F = -dW/dX = P_m *( dB / dX) *cos α , где W = -P_mBcos α = -P_mB. В общем случае: F = P_m (dB / dX) cos α. Еще есть: N = [ P_m , B]. Сила, действующая на контур с током в неоднородном магнитном поле, зависит от ориентации магнитного момента контура относительно направления поля. а) P_m и B совпадают по направлению. Сила положительна, направлена в сторону возрастания В, т.е втягивает контур в область сильного поля. ( dB / dX > 0 ).б) P_m и B антипараллельны. Сила отрицательна, направлена в сторону убывания В, т.е выталкивает контур из области сильного поля.

5. Действие магнитного поля на движущиеся заряды. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле.

6. Эффект Холла. Ускорители заряженных частиц. Циклотрон.

Эффект Холла: Если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоянный электрический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между гранями, параллельными направлениям тока и по­ля, возникает разность потенциалов. Это явление называется эффектом Холла. Или по другой формулировке это возникновение в металле с током плотностью j помещённом в магн. поле B , электрического поля в направлении перпендикулярном B и j. Разность потенциалов Холла: U_н = RbjB, где b—ширина пластинки, j—плотность тока, В—магнитная индукция поля, R—коэффициент пропорциональности, полученный Холлом. Когда нет магнитного поля потенциал во всех точках поверхности одинаков. При включении магнитного поля на них воздействует сила F = euB. В результате у электронов возникают скорости направленные вверх и вниз пластинки, возникает поперечное электрическое поле Е_в . Если напряженность поля достигнет значения при котором она уравновесит силу, действующую на заряды, то Е_в = uB. Суммарное поле Е = Е_в + Е₀ . Тогда U_н = bE_B = buB = bjB/ne = RbjB.

Циклотрон: Циклотрон—это циклический резонансный ускоритель тяжёлых частиц (протонов,ионов). В основу положена независимость периода обращения заряженной частицы в однородном магнитном поле от ее скорости. Этот прибор состоит из двух электродов в виде половинок круглой невысокой коробки, получивших название дуантов. Дуанты заключены в откачиваемый корпус, который помещается между полюсами магнита. Поле, создаваемое электромагнитом, однородно и ерпендикулярно к плоскости дуантов. На дуанты подается переменное напряжение, возбуждаемое генератором высокой частоты. Когда напряжение максимально между дуантов вводится частица. Она подхватывается полем и затягивается в один из дуантов. Подбирается определенная частота изменения напряжения при которой , когда частица, пройдя половину окружности, подойдет к зазору между дуантами, разность потенциалов между ними изменила знак и достигла амплитудного значения. Тогда частица будет снова ускорена и влетит во второй дуант с энергией в два раза большей. В втором то же самое и. т. д. Таким образом, частица движется по кривой, близкой к спирали, получая при каждом прохождении через зазор между дуантами дополнительную порцию энергии, равную qU_m. Таким образом можно многократно увеличить энергию частицы. Главное, чтобы не был нарушен синхронизм. Условие синхронизма: периоды вращения частицы в магнитном поле и колебаний электрического поля должны быть равны.

7. Магнитный момент атома. Элементарная теория диа- и парамагнетизма.

Элементарная теория диамагнетизма и парамагнитизма:

Вещества намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля , называются диамагнетиками. ( Наведенные состовляющие магнитных полей атомов складываются и образуют собственное магнитное поле вещества ослабляющее внешнее магнитное поле. В отсутствие внешнего поля диамагнетик немагнитен.

Диамагнетизм обнаруживают только те вещества, у которых атомы не обладают магнитным моментом ( векторная сумма орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов атома равна нулю ). 2) Если магнитный момент р_т атомов отличен от нуля, вещество оказывается парамагнитным. Магнитное поле стремится установить магнитные моменты атомов вдоль В, тепловое движение стре­мится разбросать их равномерно по всем направлениям. В резуль­тате устанавливается некоторая преимущественная ориентация моментов вдоль поля, тем большая, чем больше В, и тем меньшая, чем выше температура.

Парамагнетики – вещества намагничивающиеся по направлению поля. Они всегда обладают магнитным моментом. Парамагнетик намагничевается создавая собственное магнитное поле совпадающее с внешним и усиливающем его. Кюри экспериментально установил закон, согласно которому восприимчивость парамагнитного вещества равна: χ_м = С / Т, где С—постоянная Кюри, Т—абсолютная температура. По другим исследованиям пришли к выводу, что χ_м = μ₀N_Ap²_m / 3kT, тогда С = μ₀N_Ap²_m / 3k.

Магнитные моменты атомов: Электрон движется в атоме по круговым орбитам что эквивалентно круговому току, поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом p_m=I S=e £ π r²=e v r / 2. . Направление вектора p_m образует с направлением тока правовинтовую, а с направлением движения электрона левовинтовую систему. Если намагничивать стержень из магнетика, то магнитные моменты электронов установятся по направлению поля.

8. Понятие об элементарных токах. Намагничивание вещества. Вектор намагничивания. Описание магнитного поля вещества. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость.

Магнитная проницаемость среды показывает во сколько раз магнитное поле макротоков усиливается за счёт микротоков среды. Намагниченность принято связывать с напряженностью поля, J = χH, где χ—характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью. Опыт показывает, для слабомагнитных веществ при не слишком сильных полях χ не зависит от Н. Размерность H совпадает с размерностью J, следовательно χ—безразмерная величина.

Вектор намагничивания: Если мы ищем выражение для ротора результирующего поля [▼B] = μ₀ ( j + j_мол ), то у нас возникают проблемы с молекулярными токами, так как плотность молекулярных токов зависит от значений вектора В. Однако существует такая вспомогательная величина, ротор которой определяется лишь плотностью макроскопических токов. В эту величину входит вектор ( ротор) намагниченности. Он обозначается J. Суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом dL, равен JdL, а сумма молекулярных токов, охватываемых всем контуром равна , тогда, если это равенство выполняется при любом выборе поверхности, то j_мол = [▼J] , таким образом плотность молекулярных токов определяется значением ротора намагниченности. В случае [▼J] = 0, молекулярные токи отдельных молекул ориентированы так, что их сумма в среднем равна нулю. Тогда вспомогательная величина Н = (В / μ₀) – J. Описание магнитного поля в веществе: Для количественного описания намагничения вводят векторную величину – намагниченость, определяемую магнитным моментом на единицу объёма. J=p_m/V намагниченость прямо пропорциональна напряжённости поля вызывающего намагничение J=H,  - магнитная восприимчивость вещества. Также существует величина напряженности магнитного поля: Н = (В / μ₀) – J, [ ▼ H] = j, то есть ротор вектора Н равен вектору плотности макроскопических токов, или циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром. Так же существует μ = 1 + χ, где μ—относительная магнитная проницаемость или магнитная проницаемость вещества. χ может быть как положительной, так и отрицательной, поэтому μ может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Тогда H = B / μ₀ μ , то есть напряженного поля есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор В, но в μ₀ μ, раз меньший по модулю. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость: Существует μ = 1 + χ, где μ—относительная магнитная проницаемость или магнитная проницаемость вещества. χ может быть как положительной, так и отрицательной, поэтому μ может принимать как положительные, так и отрицательные значения

9. Магнитные моменты атомов. Типы магнетиков. Микро- и макротоки. Вектор намагничивания. Описание магнитного поля в веществе. Магнитная восприимчивость и проницаемость.

Микро- и макротоки: Для объяснения намагничения тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи (молекулярные токи, микротоки). Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешне­го поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным обра­зом, вследствие чего обусловленное ими результирующее поле равно нулю. Микроскопические токи обусловлены движением электронов в атомах и молекулах. Они создают своё магнитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях макротоков ( токов проводимости ).

Вектор намагничивания: Если мы ищем выражение для ротора результирующего поля [▼B] = μ₀ ( j + j_мол ), то у нас возникают проблемы с молекулярными токами, так как плотность молекулярных токов зависит от значений вектора В. Однако существует такая вспомогательная величина, ротор которой определяется лишь плотностью макроскопических токов. В эту величину входит вектор ( ротор) намагниченности. Он обозначается J. Суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом dL, равен JdL, а сумма молекулярных токов, охватываемых всем контуром равна , тогда, если это равенство выполняется при любом выборе поверхности, то j_мол = [▼J] , таким образом плотность молекулярных токов определяется значением ротора намагниченности. В случае [▼J] = 0, молекулярные токи отдельных молекул ориентированы так, что их сумма в среднем равна нулю. Тогда вспомогательная величина Н = (В / μ₀) – J. Описание магнитного поля в веществе: Для количественного описания намагничения вводят векторную величину – намагниченость, определяемую магнитным моментом на единицу объёма. J=p_m/V намагниченость прямо пропорциональна напряжённости поля вызывающего намагничение J=H,  - магнитная восприимчивость вещества. Также существует величина напряженности магнитного поля: Н = (В / μ₀) – J, [ ▼ H] = j, то есть ротор вектора Н равен вектору плотности макроскопических токов, или циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром. Так же существует μ = 1 + χ, где μ—относительная магнитная проницаемость или магнитная проницаемость вещества. χ может быть как положительной, так и отрицательной, поэтому μ может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Тогда H = B / μ₀ μ , то есть напряженного поля есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор В, но в μ₀ μ, раз меньший по модулю. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость: Существует μ = 1 + χ, где μ—относительная магнитная проницаемость или магнитная проницаемость вещества. χ может быть как положительной, так и отрицательной, поэтому μ может принимать как положительные, так и отрицательные значения

Магнитная проницаемость среды показывает во сколько раз магнитное поле макротоков усиливается за счёт микротоков среды. Намагниченность принято связывать с напряженностью поля, J = χH, где χ—характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью. Опыт показывает, для слабомагнитных веществ при не слишком сильных полях χ не зависит от Н. Размерность H совпадает с размерностью J, следовательно χ—безразмерная величина.

Типы магнетиков: J = χ H, где J—плотность тока, Н—напряженность магнитного поля, χ—характерная для данного магнетика величина, называющаяся магнитной восприимчивостью. В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости все магнетики подразделяются на три группы: 1) диамагнетики, у которых χ отрицательна и мала по абсолютной величине χ ≈ 10^-11~10^-10м³/моль. 2) парамагнетики у которых χ то же не велика, но положительна χ ≈ 10^-10~10^-9м³/моль. 3) ферромагнетики, у которых χ положительна и достигает очень больших значений χ ≈ 1м³/моль. Кроме того, в отличие от диа- и парамагнетиков, для которых χ не зависит от Н, восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряженности магнитного поля. Таким образом, в изотропных веществах намагниченность J Может как совпадать по направлению с Н (у пара- и ферромагне­тиков), так и быть направленной в противоположную сторону (у диамагнетиков). У изотропных диэлектриков поляризованность всегда направлена в ту же сторону, что и Е.

12. Магнитный ток. Работа перемещения проводника и контура с током в магнитном поле (вывод).

13. Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца. Закон электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла и его вывод.

Явление электромагнитной индукции:Явление электромагнитной индукции заключается в том что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции возникает ток. Этот ток называется индуцированным. Явление электромагнитной индукции свидетельствует о том, что при изменении магнитного потока в контуре возникает электродвижущая сила индукции E_i . Величина E_i, не зависит от способа, кото­рым осуществляется изменение магнитного потока Ф, и определяется лишь скоростью изменения Ф, т. е. значением dФ/dt. При изменении знака dФ/dt на­правление E_i также меняется.

Правило Ленца: Ленц установил правило, позволяющее найти направление индукционного тока. Правило гласит: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление , что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток или, в другой формулировке, индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей.

Закон электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла и его вывод: Закон электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла имеет вид: E_i = - dФ / dt. Электродвижущая сила (ЭДС) электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. Знак минус в формуле показывает, что если маг­нитный поток возрастает dФ/dt > О, то E_i < О, следовательно индукционный ток, ослабляя внешнее маг­нитное поле, будет препятствовать возрастанию магнитного потока. Если же магнитный лоток убы­вает dФ/dt< О, то E_i > 0, и индукционный ток будет препятствовать убыванию магнитного поля и магнитного потока. Магнитный поток, охватываемый контуром, может изменяться по ряду причин: деформации, перемещению контура во внешнем магнит­ном поле, вследствие изменения магнитного поля. Рассмотрим рамку, одна сторона которой подвижна. Поместим ее в однородное магнитное поле, перпенди­кулярное к плоскости контура. Будем перемещать подвижную сторону со скоростью v. В результате на каж­дый электрон, находящийся в подвижной стороне, будет действовать сила: F = -e[v,B], действие которой эк­вивалентно действию на электрон электрического поля Е = [v,B]. Циркуляция этого поля по рамке дает ЭДС, индуцируемую в этой рамке: E_i = ЕdL = [v,B]dL = [v,B] dL = [v,B]L = B[L,v] = -B_ndS / dt = -BdS / dt = -dФ / dt. Таким образом, dФ/dt и E_i имеют противоположные знаки. Знак потока и знак ЭДС индукции связаны с вы­бором направления нормали n к плоскости контура. В СИ единицей потока электромагнитной индукции служит Вебер (Вб), который представляет собой по­ток через поверхность в 1 м², пересекаемую нормаль­ными к ней линиями магнитного поля с В = 1 Тл. При скорости изменения потока, равной 1 Вб/с, в кон­туре индуцируется ЭДС, равная 1 Вб. Индукционный токи, возникающие в массивных проводниках, называются вихревыми токами или токами Фуко. В соответствие с правилом Ленца токи Фуко протекают внутри проводника таким образом, чтобы препятствовать причине, которая их вызыва­ет. Поэтому проводники, двигающиеся в магнитном поле, испытывают сильное торможение, связанное с взаимодействием магнитного поля и токов Фуко.

14. Явление самоиндукции. Индуктивность. Взаимная индуктивность. Энергия магнитного поля, плотность энергии магнитного поля.

Явление самоиндукции: Электрический ток, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур магнитный поток Ψ. При изменениях I изменяется также и Ψ, вследствии чего в контуре индуцируется ЭДС. Это явление называется самоиндукцией. Индуктивность: В соответствии с законом Био-Савара магнитная индукция. В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток I в контуре и создаваемый им полный магнитный поток Ψ через контур пропорциональны друг другу: Ψ = Li. Коэффициент пропорциональности L , между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью контура. Индуктивность зависит от геометрии контура и от магнитных свойств ( от μ ) окружающей его среды. Если контур жесткий и поблизости нет ферромагнетиков, индуктивность является постоянной величиной. За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 А возникает сцепленный с ним полный поток Ψ, равный 1 Вб. Эту единицу называют генри. Для соленоида

Взаимная индуктивность: Явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Рассмотрим два контура. Если при изменении тока в одном контуре индуцируется ЭДС в другом, то эти контуры связанны. E = -LdI / dt. Коэффициенты пропорциональности L₁₂ и L₂₁ называются взаимной индуктивностью контуров. Их величина зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Вс случа двух катушек L = Sμ₀μN₁N₂ / l. Однако нельзя утверждать, что L₁₂ = L₂₁, так как μ_{1 ≠} μ₂.

Энергия магнитного поля, плотность энергии магнитного поля: Работа, совершаемая током за время dt, в цепи, состоящей из параллельно подключенных батареи, сопротивления и индуктивности, идет на приращение внутренней энергии сопротивления R, соленоида и соединительных проводов (т. е. на их на­гревание). Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энер­гии, за счет которой и совершается работа. Таким образом, пришли к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток силы I, обладает энергией. То есть энергия магнитного поля равна работе которая затрачивается током на создание этого поля. Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. Рассмотрим соленоид. Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия распределена в нём с постоянной объёмной плотностью. L = μ₀μn²V, H = nI, I = H / n, тогда W = μ₀μH²V / 2

15. Индуктивность соленоида. Энергия магнитного поля соленоида.

16. Закон электромагнитной индукции и первое уравнение Максвелла.

Закон электромагнитной индукции и первое уравнение Максвелла: Возникновение индукционного тока в неподвижном контуре свидетельствует о том, что изменения магнитного поля вызывают появление в контуре сторонних сил, действующих на носители тока. Эти сторонние силы вызваны электрическим полем. Обозначим напряженность этого поля Е_в. Электродвижущая сила равна циркуляции вектора Е_в по данному контуру: E_i = E_BdL , но E_i = -dФ / dt, следовательно E_BdL = - . В связи с теоремой Стокса [ ▼E_B ] = -dB / dt. Максвелл предположил, что изменяющееся со временем маг­нитное поле обусловливает появление в пространстве поля Е_в независимо от присутствия в этом пространстве проволочного контура. Наличие контура лишь позволяет обнаружить по возникно­вению в нем индукционного тока существование в соответствую­щих точках пространства электрического поля. Согласно идее Максвелла изменяющееся со временем магнитное поле порождает электрическое поле. Это поле Е в существенно отличается от порождаемого неподвижными зарядами электростатического поля Е_q. Электростатическое поле потенци­ально, его линии напряженности начинаются и заканчиваются на зарядах. Ротор вектора Е_q в любой точке равен нулю. Ротор вектора Е_в отличен от нуля. Следовательно, поле Е_В как и магнитное поле, является вихревым. Линии напряженности поля Е_в замкнуты. Таким образом, электрическое поле может быть как потен­циальным (Е_ч), так и вихревым (Е_в). В общем случае электрическое поле может слагаться из поля создаваемого зарядами, и поля, обусловленного изменяющимся со временем магнитным полем. Сложив вместе предыдущие соотношения, получим для ротора напряженности суммарного поля Е= Е_q+Ев следующее уравнение: [ ▼E ] = -dB / dt. Это уравнение является одним из основных в электромагнитной теории Максвелла.

17. Ток смещения. Закон полного тока и второе уравнение Максвелла.

Ток смещения: В случае стационарного электромагнитного поля ротор вектора Н равен в каждой точке плотности тока проводимости: [ ▼H ] = J, а вектор J связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности: ▼J = -dp / dt. Чтобы согласовать эти уравнения Максвелл ввел в правую часть дополнительное слагаемое—плотность тока смещения. Тогда: [ ▼H ] = J + J_смещ. . Сумму тока проводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность полного тока равна: J = J + J_смещ. , Ток смещения—это изменяющееся со временем электрическое поле. Из всех физических свойств, присущих действительному току, ток смещения обладает лишь одним—способностью создавать магнитное поле. Ток смещения имеется везде, где есть изменяющееся со временем электрическое поле.

Закон полного тока и второе уравнение Максвелла: Сумму тока проводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность полного тока равна: J = J + J_смещ. [ ▼H ] = J + J_смещ. . Если положить дивергенцию тока смещения равной дивергенции тока проводимости, взятой с обратным знаком, ▼J_смещ. = -▼J, то дивергенция правой части предыдущего уравнения так же как и левой будет равной нулю. В случае стационарного электромагнитного поля ротор вектора Н равен в каждой точке плотности тока проводимости: [ ▼H ] = J, а вектор J связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности: ▼J_смещ. = dp / dt. ▼D = p, если продифференцировать по времени, то получим: d ▼D / dt = dp / dt, при замене порядка дифференцирования: dp / dt = ▼( dD / dt ), тогда, в связи с предыдущими уравнениями, ▼J_смещ. = ▼( dD / dt )  J_смещ. = dD / dt. В окончательном виде, получается: [ ▼H ] = J + dD / dt. Это уравнение является одним из основных в теории Максвелла. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме:Каждое из двух векторных уравнений [ ▼Е ] = - dВ / dt и [ ▼H ] = J + dD / dt эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов, стоящих в левой и в правой частях равенств. Уравнения Максвелла в скалярной форме:

1 пара: dE_z / dy – dE_y / dz = -dB_x / dt . 2 пара: dH_z / dy – dH_y / dz = J_x + dD_x / dt dE_x / dz – dE_z / dx = -dB_y / dt . dH_x / dz – dH_z / dx = J_y + dD_y / dt. dE_y / dx – dE_x / dy = -dB_z / dt. dH_y / dx – dH_x / dy = J_z + dD_z / dt

dB_x / dx + dB_y / dy + dB_z / dz = 0 . dD_x / dx – dD_y / dy + dD_z / dz = p Всего получилось 8 уравнений в которых входят 12 функций, также вводится: D = ε₀εE, B = μ₀μH, J = ðE. Тогда уравнения Максвелла в интегральной форме: 1 пара: 2 пара: Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в дифференциальной форме: Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения: [ ▼Е ] = - dВ / dt и ▼В = 0 Первое из этих уравнений связывает значение Е с изменениями вектора В во времени и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. Второе уравнение указывает на отсутствие источников магнитного поля, т. е. магнитных зарядов. Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения : [ ▼H ] = J + dD / dt и ▼D = p . Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнитным полем. Второе по­казывает, что источниками вектора D служат сторонние заряды. Эти уравнения представляют собой уравнения Максвелла в дифференциальной форме. В первую пару уравнений входят только основные характеристики поля: Е и В. Во второй паре фигурируют только вспомогательные величины D и Н.

18. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме.

Уравнения Максвелла в скалярной форме:

1 пара: dE_z / dy – dE_y / dz = -dB_x / dt . 2 пара: dH_z / dy – dH_y / dz = J_x + dD_x / dt dE_x / dz – dE_z / dx = -dB_y / dt . dH_x / dz – dH_z / dx = J_y + dD_y / dt. dE_y / dx – dE_x / dy = -dB_z / dt. dH_y / dx – dH_x / dy = J_z + dD_z / dt

dB_x / dx + dB_y / dy + dB_z / dz = 0 . dD_x / dx – dD_y / dy + dD_z / dz = p Всего получилось 8 уравнений в которых входят 12 функций, также вводится: D = ε₀εE, B = μ₀μH, J = ðE. Тогда уравнения Максвелла в интегральной форме: 1 пара:

2 пара: Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в дифференциальной форме: Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения: [ ▼Е ] = - dВ / dt и ▼В = 0 Первое из этих уравнений связывает значение Е с изменениями вектора В во времени и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. Второе уравнение указывает на отсутствие источников магнитного поля, т. е. магнитных зарядов. Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения : [ ▼H ] = J + dD / dt и ▼D = p . Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнитным полем. Второе по­казывает, что источниками вектора D служат сторонние заряды. Эти уравнения представляют собой уравнения Максвелла в дифференциальной форме. В первую пару уравнений входят только основные характеристики поля: Е и В. Во второй паре фигурируют только вспомогательные величины D и Н.

19. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в дифференциальной форме.

Уравнения Максвелла в скалярной форме:

1 пара: dE_z / dy – dE_y / dz = -dB_x / dt . 2 пара: dH_z / dy – dH_y / dz = J_x + dD_x / dt dE_x / dz – dE_z / dx = -dB_y / dt . dH_x / dz – dH_z / dx = J_y + dD_y / dt. dE_y / dx – dE_x / dy = -dB_z / dt. dH_y / dx – dH_x / dy = J_z + dD_z / dt

dB_x / dx + dB_y / dy + dB_z / dz = 0 . dD_x / dx – dD_y / dy + dD_z / dz = p Всего получилось 8 уравнений в которых входят 12 функций, также вводится: D = ε₀εE, B = μ₀μH, J = ðE. Тогда уравнения Максвелла в интегральной форме: 1 пара:

2 пара: Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в дифференциальной форме: Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения: [ ▼Е ] = - dВ / dt и ▼В = 0 Первое из этих уравнений связывает значение Е с изменениями вектора В во времени и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. Второе уравнение указывает на отсутствие источников магнитного поля, т. е. магнитных зарядов. Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения : [ ▼H ] = J + dD / dt и ▼D = p . Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнитным полем. Второе по­казывает, что источниками вектора D служат сторонние заряды. Эти уравнения представляют собой уравнения Максвелла в дифференциальной форме. В первую пару уравнений входят только основные характеристики поля: Е и В. Во второй паре фигурируют только вспомогательные величины D и Н.

20. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны. Плоская электромагнитная волна. Основные свойства электромагнитных волн. Энергия электромагнитных волн.

Уравнение плоской волны: Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат и времени. Она должна быть периодической как по времени, так и по координатам. Длина волны и волновое число: Расстояние λ, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Тогда λ = UT, T—период колебаний. Длину волны можно определить также, как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π. Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно x и t вид. Для этого введем величину К, которая называется волновым числом. Волновой вектор: Выразим L через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности. Для этого введем единичный вектор n номали к волновой поверхности. Скалярное произведение n на радиус-вектор любой из точек поверхности равно L. nr = r*cosφ = L , вектор K = kn равный по модулю волновому числу k = 2π / λ и имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором. Волновое уравнение:Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. , где Δ—не дельта, а оператор Лапласа.

Основные свойства электромагнитных волн: Электромагнитными волнами называется распро­страняющееся в пространстве переменное электро­магнитное поле. Электромагнитные волны излучаются колеблющи­мися зарядами. Скорость движения таких зарядов меняется со временем. Наличие ускорения - глаз­ное условие излучения электромагнитных волн. Электромагнитное поле излучается заметным обра­зом не только при колебаниях заряда, но и при лю­бом быстром изменении его скорости. Интенсив­ность излученной волны тем больше, чем больше ускорение, с которым движется заряд. Электромагнитные волны—поперечны. Энергия электромагнитной волны: Электромагнитные волны переносят энергию. Согласно форму­ле плотность потока энергии можно получить, умножив плотность энергии на скорость волны. Рассмотрим случай, когда электромагнитная волна распрост­раняется в вакууме. В этом случае скорость волны равна с. Плот­ность энергии электромагнитного поля w слагается из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля: W = WE + WH = ε0E2 / 2 + μ0H2 / 2. В вакууме μ = ε =1, тогда E√ε0 = H√μ0 . Отсюда следует, что плотности энергии электромагнитного и магнитного полей волны, в каждый момент времени одинаковы: WE = WH. Тогда

W = ½( E√ε0)2 + ½( H√μ0) = √ε0μ0 * EH = ( 1 / C )*EH. Умножив это выражение на скорость света в вакууме, получим модуль плотности потока энергии: S = WC = EH. Поток, электромагнитной индукции через поверхность можно представить как: Так же существует вектор Пойнтинга: S = [ EH ]. Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с на­правлением распространения волны правовинтовую систему. По­этому направление вектора [ЕН] совпадает с направлением пере­носа энергии, а модуль этого вектора равен ЕН. Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии можно пред­ставить как векторное произведение Е и Н.