- •Определение через перестановки
- •Свойства обратной матрицы
- •Способы нахождения обратной матрицы
- •Точные (прямые) методы Метод Гаусса—Жордана
- •С помощью матрицы алгебраических дополнений
- •[.] Использование lu/lup-разложения
- •4)Алгоритм нахождения матрицы Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •5)Системы линейных алгебраических уравнений Система линейных алгебраических уравнений
- •Матричная форма
- •Методы решения
- •6)Основные понятия систем линейных уравнений Системы линейных уравнений: основные понятия
- •Метод Крамера
- •[Править] Описание метода
- •Описание метода
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Линии второго порядка
- •1. Задание числовой последовательности
- •2. Действия над последовательностями
- •Определение
- •Определение
- •Первый замечательный предел
- •[Править] Второй замечательный предел
- •Определение
- •[Править] Определение производной функции через предел
- •[Править] Дифференцируемость
- •Правила дифференцирования
- •Производные высшего и дробного порядка
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
- •[Править] Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •23)Возрастание и убывание ф-ии. Максимум и минимум Возрастание и убывание функции. Точки максимума и минимума функции
- •Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции
4)Алгоритм нахождения матрицы Алгоритм нахождения обратной матрицы
Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.
Пример 1
Для матрицы А найти обратную матрицу А-1
Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.
Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А-1.
В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.
Ответ:
Алгоритм нахождения ранга матрицы.
Пример Найдите ранг матрицы .
Решение. Первую строку оставляем без изменений. Чтобы избежать появления дробей, умножим вторую, третью и четвертую строки на 2:
Первую строку умножим на и прибавим ко второй. Получим строку . Первую строку умножим на и прибавим к третьей. Получим строку . Первую строку умножим на и прибавим к четвертой. Получим строку . В итоге имеем матрицу
Вторую строку оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 2. Получим строку . К четвертой строке прибавляем вторую. Получим нулевую строку. Преобразованная матрица имеет вид
Поменяем местами третий и четвертый столбцы:
Базисный минор матрицы стоит в первых трех столбцах и первых трех строках, . Следовательно, .
Пример Пусть
Найдём частные производные второго порядка. Для этого сначала найдём производные первого порядка:
Затем находим производные от :
|
|
|
|
производные от :
и производные от :
|
|
|
|
От любой из частных производных второго порядка можно рассматривать, в свою очередь, частные производные:
Эти производные (их штук) называются частными производными третьего порядка; от них можно найти частные производные четвёртого порядка
и т. д.
Если при вычислении частной производной высокого порядка некоторые дифференцирования проводятся по одной и той же переменной несколько раз подряд, то это отражается в обозначениях очевидным образом, например, означает то же самое, что Дифференциальное и интегральное исчисление Многочисленные лотереи и страховые компании, которые организовались в течение этого периода, вызвали у многих математиков, включая Эйлера, интерес к теории вероятностей. Это повело к попыткам применить учение о вероятностях в новых областях.
5)Системы линейных алгебраических уравнений Система линейных алгебраических уравнений
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида
|
(1) |
Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[1].
Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.
Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.
Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.
Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.
Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.
Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:
c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2). |
Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.
Содержание [убрать]
|