Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной   второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции  :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что  есть произвольное и не зависящее от  , которое при дифференцировании по   следует рассматривать как постоянный множитель.

[Править] Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция   имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции  выглядит следующим образом:

где , а    произвольные приращения независимых переменных . Приращения   рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

23)Возрастание и убывание ф-ии. Максимум и минимум Возрастание и убывание функции. Точки максимума и минимума функции

Рассмотрим приложение производной функции к исследованию поведения функции. По первой производной функции можно определить промежутки возрастания и убывания функции, а также определить точки экстремума функции (максимум и минимум).

Определение. Функция называется возрастающей в точке , если в некоторой -окрестности этой точки справедливо

для любого .

Определение. Функция называется возрастающей на отрезке , если для любых двух точек справедливо неравенство

когда .

Определение. Функция называется убывающей в точке , если в некоторой -окрестности этой точки справедливо неравенство

для любого .

Определение. Функция называется убывающей на отрезке , если для любых двух точек справедливо неравенство

когда .

Определение. Функция имеет в точке максимум, если значение является наибольшим в некоторой двустороней окрестности точки .

Определение. Функция имеет в точке минимум, если значение является наименьшим в некоторой двусторонней окрестности точки .

Определение. Функция имеет в точке экстремум, если точка является точкой максимума или минимума.

Признаки (достаточные) возрастания и убывания функции :

Если на интервале , то функция возрастает на этом интервале;

Если на интервале , то функция убывает на этом интервале.

Необходимое условие экстремума функции.

Функция может иметь экстремум только в точках, где или производная не существует. Точка, где или производная не существует называется критической точкой.

Заметим, что если в точке выполняется, что , то это означает, что касательная в данной точке параллельная оси . Если производная в точке не существует, то это значит либо касательная вертикальная, либо ее нет в данной точке.

Достаточные условие экстремума функции.

Если функция непрерывна в точке и имеет в некоторой окрестности точки , кроме, быть может самой точки , конечную производную и если при переходе через точку :

меняет знак с '+' на '-', то точка -- точка максимума;

меняет знак с '-' на '+', то точка -- точка минимума;

не меняет знак, то точка не является точкой экстремума.

24)Нахождение экстремальных точек ф-ии

25)Наибольшее и наименьшее значение ф-ии на отрезки

Значение, которое функция принимает в какой то точке множества, на котором задана данная функция, называется наибольшим (наименьшим) в данном множестве, если не существует другой точки этого множества, функция не имеет большего (меньшего) значения.  

Наименьшее и наибольшее значения функции в сравнении с её значениями во каждой близкой точке называют экстремумами (следовательно максимумами и минимумами) функции.  

Наименьшее и наибольшее значения функции, заданной на отрезке, могут достигаться либо в точках, в которых производная равна 0, либо в точках, в которых ее не существует, или же на концах отрезка. Непрерывная функция, которая заданна на отрезке, в любом случае достигает на нём наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале, то среди значений на данном интервале, наибольшего или наименьшего может попросту не оказаться. 

Пример, функция у = x, заданная на отрезке [0; 1], достигает наибольшего и наименьшего значений следовательно при x = 1 и x = 0 (концы отрезка); если же рассматривать данную функцию на интервале (0; 1), то среди всех её значений на данном интервале не будет существовать ни наибольшего, ни наименьшего, так как для любого x0 всегда найдётся точка принадлежащая интервалу, которая лежит правее (левее) x0, и такая, что значение функции в этой точке будет больше (соответственно меньше), чем в точке x0. те же самые утверждения могут быть применимы для функций нескольких переменных.

26)Выпуклость и вогнутость ф-ии в точке перегиба