1. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если существует такое число , что выполняется равенство: . Число называется собственным значением оператора , отвечающим собственному вектору . Множество собственных значений линейного оператора называется его спектром.

Рассмотрим матрицу оператора в некотором базисе:

Тогда соотношение или ( ), эквивалентно следующему:

Это есть однородная система ого порядка, всегда имеющая нулевое решение . По правилу Крамера она будет иметь ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т.е.

(1)

Итак, собственные числа являются корнями алгебраического уравнения ого порядка (1), которое называется характеристическими уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом.

Заметим, что собственные значения не зависят от выбора базиса, в котором записывается матрица оператора .

Пусть - собственное значение, т.е. решение характеристического уравнения (1). Тогда собственный вектор , отвечающий этому собственному значению, будет решением однородной системы

(2)

Так как множество решений линейной однородной системы является линейным пространством, то для нахождения собственных векторов , отвечающих собственному значению , достаточно найти базис этого пространства.

Пример. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора с матрицей

A=

Решение. Составим характеристическое уравнение (1):

=0 или

Собственные значения: ; . Для составим систему (2):

~

= -одномерное линейное пространство собственных векторов с базисом .

Для

~

= -одномерное линейное пространство собственных векторов с базисом .

Отметим, что векторы в образуют базис не параллельно . Так как , то матрица линейного оператора в том базисе будет диагональной:А=

№15.2

2. Условие диагональности линейного оператора.

Теорема 1. Линейный оператор в приводится к диагональному виду тогда и только тогда, тогда его собственные векторы образуют базис в .

Доказательство. Необходимость( ). Пусть в базисе матрица оператора диагональная:

А=

Тогда , ,…., , т.е. базис состоит из собственных векторов, отвечающих собственным значениям .

Достаточность . Пусть базис из собственных векторов, отвечающих собственным значениям . Тогда ,…., , и

А=

Отметим, что не всякий линейный оператор приводится к диагональному виду, т.к. не всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор. Примером такого оператора является оператор поворота в на угол . Действительно, геометрически существование собственного вектора означает, что существует вектор, который растягивается оператором в раз, а оператор поворота все векторы не растягивает, а поворачивает.

Укажем достаточное условие приводимости оператора к диагональному виду.

Теорема 2. Если линейный оператор в имеет различных собственных значений, то собственные векторы, отвечающие им, образуют базис в , а матрица оператора в этом базисе диагональная.

Доказательство для . Пусть - собственные значения, а -собственные векторы оператора в . Покажем, что эти векторы линейны независимы. Пусть и

Отсюда Значит, . Аналогично, . Теорема доказана.

№16

Деление отрезка в данном отношении

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки ( , ) и ( , ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

, .

Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат

№17

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через

вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;

– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и совпадают векторы коллинеарны.

Расстояние между параллельными прямыми

Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями

где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и , и может быть найдено по формуле

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

где — произвольные точки на прямых и соответственно.

Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах , т.е.

где

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е. и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми

вычисляется по формуле

№18

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве , и пусть базис в . Обозначим через образы базисных векторов .

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа с координатами прообраза , с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей .

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве произошел переход от базиса к базису . Связь между матрицей оператора в базисе и матрицей этого оператора в базисе задается формулой

.

Здесь матрица перехода от базиса к базису и обратная к ней.

Теорема. Преобразование матрицы оператора ^A при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f

определяется формулой:

A_f = C ⁻¹ A_e C

№19

Квадратичной формой F , зависящей от n переменных x1,x2, … ,xn называется многочлен второй степени q(x₁,x₂,…x_n)

A₁₁x₁x₁₊ a₂x₁x₂+..+a_1nx₁x_n

A₁₂x₂x₁₊ a₂₂x₂x₂+..+a_2nx₂x_n

A_n1x_nx₁₊ a _n2xnx2+..+a_nnx_n²

Положительно определена, если для любого значения переменной среди которых 1-о отличное от 0, q(x₁,x₂,…x_n) >0( отрицательно q(x₁,x₂,…x_n)< 0)

Квадратичная форма каноническая, если её матрица диагональная.

Симметричная матрица A = (a_ij) (i,j = 1, … ,n) называется матрицей квадратичной формы F .

№20

Квадратичные формы играют основополагающую роль в исследовании выпуклости-вогнутости различных функций.

Многие свойства кривых 2-го порядка могут изучаться при помощи характеристической квадратичной формы, соответс-ей уравнению кривой F₀(x,y)= a₁₁x²+ 2a₁₂xy+ a₂₂ y²

Невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, гиперболой параболой в зависимости от того, будет ли F₀(x,y) положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратной формой, что устанавливаются по корням :

A₁₁-µ a₁₂

a₁₂ A₂₂-µ =0

№21.1

Плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой.

Теорема. Пусть и

– общие уравнения двух плоскостей. Тогда: