- •1 Поняття про числовий ряд і його суму. Геометричний ряд.
- •2 Необхідна умова збіжності ряду. Гармонічний ряд. Залишок ряду. Властивості збіжних рядів. Критерій Коші збіжності ряду.
- •3 Ознаки збіжності числових рядів з додатними членами
- •5 Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.
- •6 Абсолютно і умовно збіжні ряди, їх властивості.
- •7 Поняття про числовий ряд з комплексними числами
- •8 Функціональні ряди.
- •9 Властивості рівномірно збіжних рядів
- •10 Степеневі ряди.
- •11 Властивості степеневих рядів.
- •13 Ортогональна система функцій. Ряд Фур’є, коефіцієнти Фур’є, теорема Діріхле.
- •14 Ряд Фур’є для парних і непарних ф-й.
- •16 Ряд Фур’є в комплексній формі
- •17 Інтеграл Фур'є. Теорема Фур'є. Амплітудний і фазовий частотні спектри.
- •18 Інтеграл Фур’є для парних і непарних ф-й. Синус і косинус перетворення Фур’є.
- •19 Інтеграл Фур’є в комплексній формі.
- •21 Функція комплексної змінної. Границя. Неперервність
- •22 Основні елементарні ф-ї кз:
- •23 Диференціювання ф-ї комплексної змінної (фкз). Умови Коші-Рімана
- •24 Аналітична ф-я. Гармонічна ф-я.
- •25 Геометричний зміст модуля та аргументу похідної ф-ї кз. Поняття про конформне відображення.
- •26 Означення інтегралу від ф-ї кз. Формули для обчислення інтегралу.
- •27 Теорема Коші для однозв’язної області
- •28 Теорема Коші для багатозв’язної області
- •29 Інтегральна формула Коші. Інтеграл Коші. Формула для похідної аналітичної функції.
- •30 Степеневі ряди в комплексній формі. Теорема Абеля. Круг збіжності ряду.
- •31 Ряд Тейлора. Теорема про розвинення аналітичної ф-ї в степеневий ряд.
- •32 Ряд Лорана. Теорема про розвинення ф-ї в кільці.
- •33 Класифікація ізольованих особливих точок ф-ї.
- •34 Означення лишку аналітичної функції в ізольованій особливій точці. Обчислення лишків в особливих точках.
- •35 Розвинення функції в ряд Лорана в околі нескінченно-віддаленої точки.
- •37 Обчислення інтегралів за допомогою лишків.
- •38 Означення функції-оригіналу. Означення перетворення Лапласа. Теорема існування. Необхідна умова існування зображення.
- •39 Властивості перетворення Лапласа
- •40 Теорема Бореля. Згортка функцій. Зображення згортки.
- •41 Інтеграл Дюамеля. Зображення періодичного сигналу.
- •42. Формула Рімана-Мелліна
- •43 Застосування операційного числення.
9 Властивості рівномірно збіжних рядів
Якщо члени функціонального ряду є неперервними функціями на деякому інтервалі і ряд рівномірно збігається на цьому інтервалі, то його сума неперервна на цьому ж інтервалі.
Функціональний ряд, який є рівномірно збіжним на деякому інтервалі, можна почленно інтегрувати на цьому інтервалі.
Тобто, якщо - рівномірно-збіжний на , інтервал , то
Нехай члени ряду - неперервно диференційовані функції на інтервалі , ряд складений з похідних - є рівномірно збіжний на проміжку . Якщо при цьому вихідний ряд є збіжний хоча б в одній точці то він є:
а) рівномірно збіжний на інтервалі ;
б) його сума являє собою неперервно диференційовну функцію на інтервалі ;
в) ряд допускає почленне диференціювання, тобто похідна суми ряду дорівнює сумі похідних його членів.
10 Степеневі ряди.
Означення: Функціональний ряд вигляду називається степеневим рядом в околі точки .
Перша теорема Абеля: Якщо степеневий ряд збігається при , то він абсолютно збігається і при всіх значеннях , таких що .
Доведення:
Якщо ряд - збігається, то , отже члени цього ряду є обмеженими величинами. В той же час , де .
Скориставшись мажорантно-мінорантною ознакою порівняння, можемо стверджувати, що ряд - є збіжним, оскільки він мажорується за абсолютною величиною сумою членів нескінченно спадної геометричної прогресії.
Радіус збіжності: Для кожного степеневого ряду знайдеться число , таке що ряд є збіжним при і розбіжним при , яке називається радіусом збіжності степеневого ряду.
Інтервал збіжності: Як випливає з попереднього, для знаходження області збіжності степеневого ряду досить визначити його радіус збіжності, і дослідити збіжність ряду у точках , .
11 Властивості степеневих рядів.
Сума степеневого ряду є неперервною ф-єю на інтервалі .
Степеневий ряд усередині інтервалу збіжності можна почленно диференціювати.
Степеневий ряд можна почленно інтегрувати на кожному відрізку, що міститься всередині інтервалу збіжності.
13 Ортогональна система функцій. Ряд Фур’є, коефіцієнти Фур’є, теорема Діріхле.
Означення: Тригонометричним рядом Фур’є на проміжку називається ряд вигляду : , причому , що є дійсними числами, називаються коефіцієнтами цього ряду або коефіцієнтами Фур’є, які визначаються за відповідними формулами:
Теорема Діріхлє: Якщо функція є періодична з періодом , на проміжку задовольняє умовам Діріхлє:
Кусково-неперервна на
Кусково-монотонна на
Обмежена на
Тоді її ряд Фур’є збігається в кожній точці відрізку. Його сума:
, якщо і є точкою неперервності ф-ї;
, якщо і є точкою розриву ф-ї;
14 Ряд Фур’є для парних і непарних ф-й.
Ряд Фур’є має вигляд . У випадку, якщо ф-я є парною або непарною ряд можна спростити наступним чином:
якщо маємо парну ф-ю, то ряд розкладається за косинусами, тобто
якщо маємо непарну ф-ю, то ряд розкладається за синусами, тобто
15 Ряд Фур’є для ф-ї періоду
Ряд Фур’є має вигляд .
Якщо ф-я задана на проміжку від -1 до 1, то у випадку виконання умов Діріхлє вона може бути представлена сумою ряду:
, де