- •Математические методы в экономических исследованиях Методические указания для студентов экономических специальностей
- •1. Функции нескольких переменных и их экстремумы
- •Функции двух переменных и их множества (линии) уровня
- •1.2. Частные производные, градиент функции n переменных.
- •Элементы теории экстремума.
- •2. Модели потребительского выбора.
- •2.1. Функция полезности.
- •2.2. Задача потребительского выбора.
- •Решение задачи потребительского выбора и его свойства.
- •2.3. Метод Лагранжа решения задачи на условный экстремум.
- •Решение задачи потребительского выбора.
- •Функции спроса.
- •2.6. Общая модель потребительского выбора.
- •Пример задачи потребительского выбора.
- •2.7. Модель Стоуна.
- •2.8. Взаимозаменяемость благ. Эффекты компенсации.
- •Перекрестные эффекты.
- •3. Эластичность и ее применение в экономическом анализе.
- •Примеры вычисления и анализа эластичности спроса.
- •4. Производственные функции.
- •Понятие производственной функции одной переменной.
- •Производственная функция нескольких переменных.
- •Формальные свойства производственных функций.
- •4.4. Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции.
- •4.5. Примеры производственных функций.
- •5. Задачи оптимизации производства.
- •5.1. Оптимизация прибыли в долговременном промежутке.
- •5.2. Задача максимизации объема выпуска при ограничении на ресурсы.
- •5.3. Задача минимизации издержек при фиксированном объеме выпуска.
- •Вопросы к экзамену
- •Список рекомендованной литератуты
- •Содержание
Перекрестные эффекты.
Перекрестные эффекты изменения цены – влияние, которое изменение цены на товар 1 оказывает на спрос на товар 1. Расстояние между точками А и В по вертикали (Δx2) характеризует перекрестный эффект цены. Чтобы исключить влияние перекрестного эффекта дохода, проводят бюджетную линию 3 параллельно 2 касательно l1. Оптимальный набор потребителя - точка С, а расстояние - перекрестный эффект замещения. Перекрестный эффект дохода действует в направлении, противоположном действию эффекта замены. За счет спрос растет, а за счет спрос уменьшается. Запишем уравнение Слуцкого для перекрестных эффектов: . Поделим обе части его на Δp1:
или .
В дифференциальной форме: .
В общем виде уравнение Слуцкого для набора из n благ имеет вид:
.
Для ценных товаров , то есть спрос растет с ростом дохода, тогда , то есть, если спрос растет, то он растет больше при условии компенсации, а если уменьшается, то в меньшей степени.
3. Эластичность и ее применение в экономическом анализе.
Определение 3.1. Эластичностью функции y=f(x) называется предел отношения относительных изменений y и x: .
Здесь
Для дифференцируемых функций , т.е.
В дискретном случае, когда эластичность определяют по точечному набору данных, вычисляют либо точечную, либо дуговую эластичность.
Точечная эластичность:
Дуговая эластичность:
Эти выражения мало отличаются друг от друга при небольших относительных изменениях х и у.
Эластичность - безразмерная величина, удобная для измерения чувствительности показателя у к изменению показателя х.
Рассмотрим применение понятия эластичности для функции спроса. Пусть qi(p1,p2,..,pn,I) - функция спроса на товар i, зависящая от цен на товары p1,p2,..,pn и дохода потребителя I.
Эластичность спроса по цене pi (прямая):
Эта величина показывает относительное изменение величины спроса на товар (благо) i при изменении цены этого товара на 1% и характеризует чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию. Здесь рассматривают следующие случаи:
a) если , то спрос называется эластичным;
б) если , то спрос называется неэластичным
(при - совершенно неэластичный)
в) если , спрос называется совершенно эластичным;
г) если , то спрос единичной эластичности.
Перекрестная эластичность спроса по цене:
Показатель характеризует относительное изменение величины спроса на товар i при изменении цены на другое благо на 1%. Положительный знак свидетельствует о замещаемости благ, отрицательный - о дополняемости. Epj=0 для независимых товаров.
Эластичность спроса по доходу:
Показатель характеризует относительное изменение величины спроса на товар (благо) при изменении дохода потребителя этого блага на 1%. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует нормальные (качественные) товары, а отрицательная - малоценные (некачественные) товары.
Примеры вычисления и анализа эластичности спроса.
Пример 1. Пусть спрос x на товар описан функцией x=12-2p,
где р - цена товара. Определить, при какой цене коэффициент ценовой эластичности спроса равен -0.5.
Решение: , тогда 2p=0.5(12p-2),
т.е. p=2
Пример 2. Рыночный спрос на товар описан функцией: ,
где I-совокупный доход потребителя, py px - цены на товары y и x соответственно. Определить коэффициенты ценовой эластичности при I=625, py=1, px=2.
Решение:
Спрос по цене на 1-й товар имеет единичную эластичность.
Таким образом, спрос по цене на второй товар неэластичен. Aналогично вычисляем EI=1/2, т.е. товар качественный.
Пример 3. При цене 10 руб./кг потребитель покупает 3 кг персиков, при цене 12 руб./кг тот же потребитель покупает 2 кг персиков. Определить точечную эластичность спроса по цене.
Еp={(2-3)/3}/{(12-10)/10}=-5/3, т.е. спрос является эластичным по цене.