![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математические методы в экономических исследованиях Методические указания для студентов экономических специальностей
- •1. Функции нескольких переменных и их экстремумы
- •Функции двух переменных и их множества (линии) уровня
- •1.2. Частные производные, градиент функции n переменных.
- •Элементы теории экстремума.
- •2. Модели потребительского выбора.
- •2.1. Функция полезности.
- •2.2. Задача потребительского выбора.
- •Решение задачи потребительского выбора и его свойства.
- •2.3. Метод Лагранжа решения задачи на условный экстремум.
- •Решение задачи потребительского выбора.
- •Функции спроса.
- •2.6. Общая модель потребительского выбора.
- •Пример задачи потребительского выбора.
- •2.7. Модель Стоуна.
- •2.8. Взаимозаменяемость благ. Эффекты компенсации.
- •Перекрестные эффекты.
- •3. Эластичность и ее применение в экономическом анализе.
- •Примеры вычисления и анализа эластичности спроса.
- •4. Производственные функции.
- •Понятие производственной функции одной переменной.
- •Производственная функция нескольких переменных.
- •Формальные свойства производственных функций.
- •4.4. Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции.
- •4.5. Примеры производственных функций.
- •5. Задачи оптимизации производства.
- •5.1. Оптимизация прибыли в долговременном промежутке.
- •5.2. Задача максимизации объема выпуска при ограничении на ресурсы.
- •5.3. Задача минимизации издержек при фиксированном объеме выпуска.
- •Вопросы к экзамену
- •Список рекомендованной литератуты
- •Содержание
Производственная функция нескольких переменных.
Производственная функция n переменных - это функция, независимые переменные х1,x2,...,хn которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а зависимая переменная у принимает значения объемов выпуска:
y=f(х1,x2,...,хn) (4.1)
В формуле (4.1) y (y0) - скалярная, а х - векторная величина, т.е. y=f(х1,x2,...,хn) - есть числовая функция нескольких (многих) переменных х1,x2,...,хn. В связи с этим ПФ y=f(х1,x2,...,хn) называют многоресурсной или многофактopнoй ПФ. Более правильной является такая символика y=f(х1,x2,...,хn.,a), где а - вектор параметров ПФ.
По экономическому смыслу х10, x20,...,хn≥0, следовательно, областью определения многофакторной ПФ y=f(х1,x2,...,хn) является множество n-мерных векторов х, все координаты которых неотрицательные числа.
Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ y=f(х1,x2,...,хn) может связывать объем выпуска (в натуральном или стоимостном выражении) с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала (измеренных обычно в натуральных единицах). ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы). При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y (будем обозначать объем выпуска, или дохода, на макроуровне большой буквой) чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных (не в текущих) ценах. В качестве ресурсов рассматривают основной капитал (x1=K) - объем используемого в течение года основного капитала), живой труд (x2=L) - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом, строят двухфакторную ПФ y=f(х1,x2,...,хn) или Y=f(K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. В качестве третьего фактора иногда вводят объемы используемых природных ресурсов. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.
Пример.
Для
моделирования отдельного региона или
страны в целом (т.е. для решения задач
на макроэкономическом, а также и на
микроэкономическом уровне) часто
используется ПФ вида:
,
где а0,
,
-параметры ПФ. Это положительные
постоянные (часто таковы, что +=1).
ПФ только что приведенного вида
называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по
имени двух американских экономистов,
предложивших ее использовать в 1929 г.
ПФКД активно применяется для решения
разнообразных теоретических и
прикладных задач благодаря своей
структурной простоте. ПФКД принадлежит
к классу так называемых, мультипликативных
ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД x1=K
равно объему используемого основного
капитала (объему используемых основных
фондов - в отечественной терминологии),
x2=L
- затратам живого труда, тогда ПФКД
приобретает вид, часто используемый в
литературе:
.
С ростом затрат первого ресурса объем
выпуска y
растет, но каждая дополнительная единица
первого ресурса обеспечивает все меньший
прирост выпуска y.
Это обстоятельство можно прокомментировать
следующим образом. Если число работников
и их квалификация остаются неизменными,
а число обслуживаемых ими станков
(которое уже достаточно велико)
увеличивается, например, в два раза,
то это естественно не приведет к двойному
росту объема выпуска. Отметим, что если
+=1,
то графиком ПФКД является поверхность,
которая напоминает выпуклую вверх
"горку", крутизна которой падает,
если точка (K,L)
перемещается на "северо-восток"
по плоскости K,L.Если
сумма показателей степени в ПФ
Кобба-Дугласа равна единице (+=1),
то ее можно записать в несколько другой
форме:
Дроби
и
называются, соответственно,
производительностью
труда и капиталовооруженностью труда.
Используя новые символы, получим
,
т.е. из двухфакторной ПФКД получим
формально однофакторную ПФКД. В связи
с тем, что 0 < <
1, из последней формулы следует, что
производительность труда z растет
медленнее его капиталовооруженности.
Отметим здесь, что дробь
называется производительностью капитала
или капиталоотдачей,
обратные дроби
и
называются соответственно капиталоемкостью
и трудоемкостью
выпуска.