- •Скалярное произведение векторов. Его основные свойства.
- •. Выражение скалярного произведения в координатах
- •Смешанное произведение векторов
- •7. Преобразование прямоугольных координат при повороте осей.
- •8. Линии на плоскости. Понятие уравнения линии.
- •9. Уравнение линии в полярной системе координат.
- •10. Параметрическое уравнение линии
- •11. Векторное уравнение линии.
- •12. Алгебраические линии.
- •13. Линии первого порядка.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.Уравнение прямой. Проходящей через данную точку, имеющей заданный угловой коэффициент.
- •15. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •16.Общее уравнение прямой.
- •17Уравнение прямой в отрезках.
- •18. Каноническое уравнение прямой на плоскости.
- •19. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и пе4. Условия параллельности двух прямых:
- •20. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •21. Линии второго порядка на плоскости.
- •22. Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса.
- •23. Векторное уравнение эллипса.
- •24. Гипербола .Вывод канонического уравнения гиперболы
- •25. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы.
- •26. Общие уравнения линии второго порядка
23. Векторное уравнение эллипса.
24. Гипербола .Вывод канонического уравнения гиперболы
25. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы.
Пусть на плоскости заданы точка F и прямая , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой . Точка F называется фокусом, прямая - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина, - параметр, - фокус, - фокальный радиус.
Каноническое уравнение:
Эксцентриситет:
Фокальный радиус:
Уравнение директрисы:
Уравнение касательной в точке
Свойство касательной к параболе: (М - точка касания; N - точка пересечения касательной с осью Ox).
Уравнение нормали в точке
Уравнение диаметра, сопряженного хордам с угловым коэффициентом k: y = p/k.
Параметрические уравнения параболы:
Полярное уравнение:
26. Общие уравнения линии второго порядка
Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям
Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса начало новой системы координат , оси которой и параллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны (см. рис.41).
В этой системе координат уравнение Рис.41.
эллипса имеет вид
Так как , то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в виде
Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями а и Ь (см. рис. 42):
И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 43, имеют соответствующие уравнения.
Уравнение Ac2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида
(11.14)
где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.
Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка?
Ответ дает следующая теорема.
Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А • С > 0), либо гиперболу (при А • С < 0), либо параболу (при АС = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением
Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс . Действительно, проделаем следующие преобразования:
Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в и полуосями и .