- •Скалярное произведение векторов. Его основные свойства.
- •. Выражение скалярного произведения в координатах
- •Смешанное произведение векторов
- •7. Преобразование прямоугольных координат при повороте осей.
- •8. Линии на плоскости. Понятие уравнения линии.
- •9. Уравнение линии в полярной системе координат.
- •10. Параметрическое уравнение линии
- •11. Векторное уравнение линии.
- •12. Алгебраические линии.
- •13. Линии первого порядка.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.Уравнение прямой. Проходящей через данную точку, имеющей заданный угловой коэффициент.
- •15. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •16.Общее уравнение прямой.
- •17Уравнение прямой в отрезках.
- •18. Каноническое уравнение прямой на плоскости.
- •19. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и пе4. Условия параллельности двух прямых:
- •20. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •21. Линии второго порядка на плоскости.
- •22. Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса.
- •23. Векторное уравнение эллипса.
- •24. Гипербола .Вывод канонического уравнения гиперболы
- •25. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы.
- •26. Общие уравнения линии второго порядка
15. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Если прямая проходит через точки и , то ее направляющим вектором можно считать вектор .
Уравнением прямой, проходящей через две точки и называется уравнение вида
В случае, когда один из знаменателей равен нулю ( соответствующий числитель тоже равен нулю ( :
если , то прямая, проходящая через точки и , параллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид
если , то прямая, проходящая через точки и , параллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки, находится по формуле
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и
Решение.
или , так как , то прямая имеет уравнение , значит она параллельная оси ординат.
16.Общее уравнение прямой.
Общим уравнением прямой называется уравнение вида
Где A,B,C – произвольные числа, причем .
Частные случаи:
Если и , то общее уравнение прямой имеет неполный вид
и определяет прямую проходящую через начало координат
Если и , то и определяет прямую параллельную оси
Если и , то – прямая параллельная оси
Если , то прямая совпадает с осью .
Если ,то прямая совпадает с осью .
При общее уравнение прямой можно записать в виде:
Пример. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол .
Решение. Найдем угловой коэффициент . Подставив в уравнение имеющиеся значения , получим . Приравняем равенство к нулю , избавимся от знаменателя для чего умножим обе части равенства на , получим общее уравнение прямой .
17Уравнение прямой в отрезках.
Преобразуем общее уравнение прямой следующим образом: перенесем в правую часть , разделим на получим получаем уравнением прямой в отрезках которое имеет вид:
,где
абсцисса точки пересечения прямой с осью
ордината точки пересечения с осью Оу .
Поэтому а и b называют отрезками прямой на осях координат.
Формулу удобно использовать для построения прямой.
Для построения прямой достаточно взять две ее точки:
при
Пример. Составить общее уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки ,
Решение. Воспользовавшисьуравнением прямой в отрезках , имеем , перепишем его в виде или .
Пример. Составить уравнение прямой проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник площадью равной 2 кв.ед.
Решение. Запишем уравнение искомой прямой в отрезках нужно найти a и b.
Так как прямая проходит через точку , то ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой: или
Площадь треугольника, отсекаемого от координатного угла, равна или .
Таким образом, нужно решить две системы уравнений:
Решая первую систему , получим
Решая вторую систему
Получим
Условию задачи удовлетворяют три прямые:
18. Каноническое уравнение прямой на плоскости.
Пусть М1(x1, y1, z1) – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор
Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно, – канонические уравнения прямой.
Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем или . Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде. Обозначим , отсюда x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox, следовательно, m=0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде
Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде . Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси. Аналогично, каноническим уравнениям
соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz.
Примеры. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1;0;-2) параллельно вектору . Канонические уравнения:
Параметрические уравнения: