Квантовые системы, состоящие из одинаковых частиц

Рассмотрим свойства систем, состоящих из одинаковых частиц, обладающих одинаковыми , , .

В классической механике одинаковые частицы, не смотря на тождественность физических свойств не теряют индивидуальности. Мы можем мысленно пронумеровать каждую и в дальнейшем следить за движением частиц.

В квантовой механике положение меняется в силу принципа неопределённости понятие о траектории полностью теряет смысл. Если положение электрона известно в некоторый момент времени, то в следующий момент времени вообще не имеет смысла говорить о её положении. Одинаковость частиц по физическим свойствам приводит к полной неразличимости частиц. Будем считать, что квантовая система состоит из n взаимодействующих одинаковых частиц, движущиеся с относительными скоростями , т.е. мы рассматриваем системы, допускающие использование нерелятивистского приближения. В этом случае оператор Гамильтона можно записать в виде

(1)

где — оператор потенциальной энергии взаимодействия между частицами как функция пространственных координат всех частиц; — оператор порядка , характеризующий спин-орбитальное взаимодействие, взаимодействие между спинами частиц и часть потенциальной энергии, зависящей от импульсов частиц и частично учитывающей эффект запаздывания взаимодействия

Если в (1) мы переставим местами частицу, то преимущественно не изменится, т.е. такая перестановка обозначает перестановку в сумме →

(2)

(3)

(4)

Для определения собственной функции и СЗ оператора перестановки введем ВФ

.

Принцип тождественности частиц утверждает, что это новое состояние неотличимое от прежнего, т.е. ВФ фактически описывают одно и то же состояние системы. Мы знаем, что ВФ описывает состояние системы отличающееся только множителем

(5)

(6)

А это уравнение есть уравнение на СЗ СФ оператора перестановки. Отсюда следует, что ВФ описывающие состояние системы должны быть СФ оператора перестановки. Применим ещё раз оператор перестановки на (6)

Отсюда следует, что и → СЗ оператора перестановки (7)

СФ соответствует СЗ называется симметричной функцией и определяется соотношением (8)

СФ соответствует СЗ называется антисимметричной функцией (9)

В природе существуют (реализуются) только симметричные и антисимметричные состояния относительно перестановки каждой пары частиц, причем можно показать, что переход между этими состояниями невозможен. Свойство симметрии волновых функций системы не может измениться и внешним возмущением, так как вследствие одинаковости частиц внешнее возмущение всегда симметрично по отношению к перестановкам пар частиц.

Квантовая механика на основе принципа тождественности частиц ведет к двум классам состояний, поэтому выбор того или иного класса состояний для какой либо системы частиц может быть продиктован только природой частиц, образующих систему. Опытным путем установлено, что в природе существуют частицы, принадлежащие обоим классам. При этом наблюдается следующая закономерность: частицы, обладающие целым спином описываются симметричными ВФ. Такие частицы называются бозонами, а совокупность частиц называется ансамблем Бозе-Эйнштейна. Частицы с полуцелым спином описываются антисимметричными волновыми функциями и называются фермионами, а совокупность частиц называется ансамблем Ферми-Дирака. К бозонам относятся фотоны, ħ- мезоны, -мезоны, и т.д. К фермионам относятся мезоны и т.д.

Не всякая линейная комбинация произвольных решений УШ будет описывать возможное состояние системы. Возможные состояния системы определяются только такими линейными комбинациями функций, которые не меняют симметрии по отношению к перестановке пар частиц.