Теория квантовых переходов. Общее выражение для вероятности перехода из одного состояния в другое
Одной из важнейших задач квантовой теории является задача перехода из одного состояния в другое, которая может быть описана следующим образом.
Пусть в момент времени
мы имеем квантовую систему, характеризующуюся
тем что для нее величина
имеет определенное значение
.
Такая система будет описываться ВФ
,
которая является СФ оператора
и принадлежит СЗ
.
Про такую функцию говорят, что она
находится в состоянии
(подразумевается дискретный спектр)
С течением времени благодаря внешним
силам или в силу внутренних изменений
состояния, система будет претерпевать
изменение. К моменту времени
наша система будет описываться некой
новой ВФ
.
Это новое состояние системы возникающее
из прежнего состояния будет системой
с неопределенным значением параметра
.
Очевидно, новое состояние системы
представляет собой суперпозицию
состояний с различными значениями
.
О системе, состоянию которой соответствует
величина
,
говорят, что она совершила квантовый
переход из состояния n в
состояние m. Математически
это будет выполняться следующим образом.
Предположим, что на систему, описываемую
не зависящим от времени оператором
Гамильтона
действует в течение некоторого времени
возмущение, оператор которого мы можем
записать следующим образом
Во время взаимодействия оператор Гамильтона будет иметь вид
(2)
Оператор Гамильтона (2) будет зависеть от времени и соответствуя ВФ будет описываться волновым УШ
(3)
Очевидно, что уравнение (3) не имеет стационарных решений. Для определения ВФ, удовлетворяющей уравнению (3), перейдем к представлению взаимодействия
(4)
(5)
Предположим также, что до включения
взаимодействия система находится в
стационарном состоянии с энергией
,
следовательно в сумме (4) при
(до взаимодействия) отличен от нуля
только член
,
поэтому ВФ начального состояния
(6)
Коэффициенты
при
.
По стечению действия возмущения, то
есть при
,
коэффициенты
зависят от вида оператора возмущения
(1) и от начального состояния
.
Поэтому эти коэффициенты будем снабжать
вторым индексом
.
Таким образом при
система
будет находиться в состоянии,
характеризующемся ВФ
(8)
При этом вероятность того, что система
будет находиться в некотором состоянии,
характеризующемся энергией
будет определяться квадратом модуля
коэффициентов разложения
(9)
Эта величина будет определять вероятность
перехода системы за время
из начального состояния
в конечное состояние
.
Для вычисления коэффициентов
подставим разложение (4) в волновое УШ
(3):
Умножая слева на
и интегрируя по переменной
оставляем зависящие только от координаты
(10)
(11)
В дальнейшем будем рассматривать такие
возможные состояния, в которых матричный
элемент
.
В этом случае член
будет отсутствовать. Для вычисления
вероятности перехода нужно решить
уравнение (10) при начальном условии
.
Если матричные элементы малы и время
возмущения
не очень велико, так что за время действия
возмущения значение коэффициентов
мало изменяется относительно малых
значений, то систему (10) будем решать
методом последовательных приближений.
Можно в правую часть системы уравнений (10) подставить в начальные значения:
(13)
Это уравнение легко решается интегрированием и тогда мы получим
(14)
(15)
Интегрируя, получим
(16)
Итоговое решение будет в виде бесконечного ряда. Этот ряд в кратком виде
(17)
(18)
Оператор возмущения в представлении взаимодействия
(19)
- хронологический оператор Дайсона
Для многих задач достаточно ограничится выражением (14) соответствующим 1 порядку приближения теории возмущения
2) Адиабатическое и внезапное включение и выключение взаимодействия
Рассмотрим различные приложения теории квантовых переходов
(1)
(2)
Рассмотрим 2 предельных случая включения-выключения взаимодействия:
1)Адиабатическое
2)Внезапное
1) В этом случае изменение энергии взаимодействия за время периода колебаний в атомной системе значительно мало по сравнению с абсолютной величиной разности энергий соответствующих состояний
(3)
Если выполняется (3), то за время изменения
знака функции
множитель, стоящий перед экспонентой
меняется мало, поэтому этот множитель
можно вынести за знак интеграла
(4)
В пределе сколь угодно малых изменений прилож значений вероятностей всякого перехода с изменением энергии стремится к нулю. Таким образом при достаточно медленном изменении система, находящаяся в некотором невырожденном стационарном состоянии будет продолжать оставаться в том же состоянии