3) Вопросы и задачи:

3.1 Ограниченного [a, b] = {a ≤ x ≤ b}

Неограниченного множество всех целых чисел Z = {…, -1, 0, 1,…}

3.2 отрицание к ограниченной последовательности?

3.3 отрицание к «число b называется пределом последовательности»?

3.4 отрицание к бмп?

3.5 отрицание к ббп?

Тема 2: Предел и непрерывность функции.

1)Определения:

1.1 Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве X, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M.

1.2 Если существует число M такое, что для любого x принадлежит X выполняется неравенство f (x) ≤ M, то функция f называется ограниченной сверху на множестве X.

1.3 Если существует число c такое, что для любого x принадлежит X выполняется неравенство f (x) ≥ c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве X.

1.4 Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве X, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве X

1.5 если существует число m такое, что для любого значения € X выполняется неравенство f(x) > m

1.6 если существует число М такое, что для любого значения х X выполняется неравенство f(x) < М

1.7 Верхняя грань множества Х чисел – такое число В, что для любого элемента х множества М имеет место соотношение х ≤ В.

1.8 Нижняя грань множества Х чисел – такое число А, что для любого элемента х множества М имеет место соотношение х ≥ М

1.9 наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней.

1.10 наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней.

1.11 Монотонная функция — это функции, меняющиеся в одном и том же направлении

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16 функция у = f(x) непрерывна в точке х0, если выполнены все три условия:

функция определена при х = х₀

существует

имеет место равенство = f(x₀)

1.17 Функцию f ( x ) называют непрерывной на отрезке [ a ; b ], если она непрерывна в каждой точке интервала ( a ; b ) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b .

1.18 Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке

1.19 Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

1.20 Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке существуют односторонние пределы и они конечны

1.21 Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

1.22 Если функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает такое значение y, что f(y)=x, то говорят, что функция g — обратная функция к f