3.1.4. Теорема Котельникова

Проанализируем результаты, представленные на рисунке 3.5. Как видно из графиков при выполнении условия

 2 m

(3.17)

слагаемые спектры дискретизированного сигнала либо не соприкасаются (рисунок 3.5в), либо примыкают друг к другу (рисунок 3.5б), но не перекрываются. Перекрытие слагаемых спектров происходит лишь в том случае, когда условие (3.17) не выполняется и _<2 _m. Очевидно, что при выполнении (3.17), используя идеальный фильтр низких частот с частотной характеристикой вида (3.18), где C=const>0, и полагая _гр=_m можно по дискретизированному сигналу точно восстановить спектр X(jw) функции x(t), а, следовательно, и саму эту функцию, отфильтровав все боковые спектры . Математически это преобразование описывается следующим образом: (3.19), где X^*(jw) - спектр сигнала на выходе восстанавливающего фильтра. Равенство , получающееся при , означает, что , где - сигнал на выходе фильтра, так как одна и та же спектральная плотность не может соответствовать двум различным временным функциям. Графическая иллюстрация восстановления показана на рисунке 3.6. Из условия уточним коэффициент передачи фильтра: так как , т.е. , то (3.20). Е сли неравенство (3.17) не выполняется, то из-за взаимного перекрытия слагаемых Х[j(w-nw₀)] происходит изменение формы спектра Х_(jw) (см. 3.5 г) и точное восстановление Х(jw), а следовательно и x(t) невозможно. Таким образом, при выполнении неравенства (3.17) процесс с дискретным временем x_(t), являющийся результатом дискретизации непрерывного процесса х(t), теоретически содержит всю информацию о всех значениях непрерывного процесса х(t). Данное утверждение и составляет основное содержание теоремы Котельникова, которая обычно формируется так: непрерывная функция времени, не содержащая в своем спектре частот свыше w_m, полностью определяется последовательностью своих дискретных отсчетов x(k t), следующих с частотой . Проведенные рассуждения составляют один из возможных вариантов доказательства этой теоремы.

3.2. Оценка ошибок дискретизации и квантования

3.2.1. Оценка ошибок дискретизации.

Рассуждения, которые привели нас к теореме Котельникова, построены на основе трех чисто математических абстракций:

1) Понятия функции с ограниченным спектром (как упрощенной модели реальных сигналов); 2) Понятия идеального фильтра нижних частот; 3) Понятия процесса с дискретным временем (как предельного случая AИM - колебания с импульсами нулевой длительности).

В действительности ни одно из этих предложений не выполняется. Оценим возникающие за счет этого погрешности.

3.2.1.1. Оценка погрешности дискретизации обусловленной неограниченностью спектра реального сигнала.

Реальные процессы конечной длительности имеют бесконечно широкий спектр. При этом процессы дискретизации и восстановления в частотной области иллюстрируются рисуноком 3.7. Т очность восстановления удобно оценивать отношением сигнал- шум на выходе фильтра. (3.21), где Е_х - энергия полезного сигнала, E_ - энергия сигнала ошибки (шума). Энергию Е_х можно оценить в соответствии с равенством Парсеваля: (3.22). Величину E_  определим исходя из того, что ошибка =x^*(t)-x(t) вызвана двумя причинами. Во-первых, в восстановленном сигнале отсутствуют спектральные составляющие сигнала x(t) с частотами - их обрезает фильтр. Энергию этой части помехи по аналогии с (3.22) можно вычислить как (3.23). Во-вторых, в сигнале имеются компоненты "хвостов" сдвинутых спектров , n1, попадающие в полосу фильтра. Энергия этой части помехи (3.24). Точное определение очень сложно, однако ее можно оценить, заменив процедуру интегрирования бесконечного числа хвостов в ограниченном частотном диапазоне 0w_гр интегрированием одного хвоста в бесконечном диапазоне (3.25). Таким образом, с учетом (3.23), (3.25) и (3.21) имеем , где E_x - энергия функции х(t), заключенная в спектральном составе на частотах . Соотношение (3.26) позволяет при заданной форме x(jw) определить знак , обеспечивающее необходимую точность восстановления. Проведенные рассуждения показывают простой путь двукратного уменьшения рассмотренной погрешности. Этого можно добиться, включив на входе дискретизатора идеальный фильтр нижних частот с . При этом произойдет заведомое искажение сигнала, характеризуемое величиной , зато будут полностью исключены искажения, характеризуемые , вследствие чего выражение (3.26) примет вид:

.