![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.
- •2.A. Колца, поле. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці. Два крытэры падколца. Два крытэры падполя.
- •3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.
- •4.A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу.
- •8.A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў. Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
- •14.A. Група. Азначэнне, прыклады, уласцівасці. Два крытэры падгрупы.
- •15.A. Спараджальнае мноства (сістэма ўтваральных) падгрупы. Цыклічная група. Падгрупы цыклічнай групы.
- •16.A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.
- •18.A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •22.A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •24.A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.
- •25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
- •28.A. Тэарэмы Ойлера, Фэрма і Вільсана (без доказаў).
- •30.A. Тэарэма пра існаванне кораня (без доказу). Поле раскладу паліному.
- •32.A. Алгебрычныя і трансцэндэнтныя элементы. Поле алгебрычных элементаў. Алгебрычная замкнёнасць поля алгебрычных лікаў (без доказаў).
- •36.A. Асноўная тэарэма алгебры камплексных лікаў (без доказу).
16.A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.
Няхай
непустое
мноства.
Мноства
усіх біекцыяў
ёсць
группа ў дачыненні да аперацыі множання
адлюстраванняў
,
для
- сіметрычная
група мноства
.
Яе элементы наз. падстановамі мноства .
Калі
- канцоўнае мноства прадку n,
тады
таксама абазначаюць
і наз. сіметрычная група ступені n.
Падстанову
абазначым
.
З таго, што
- падстанова, г.зн. біекцыя вынікае
–
перастаўленне лікаў 1,2,…,n.
Значыць лікі 1,2,…,n
сустракаюцца адзін і толькі aдзін
раз.
Тэарэма1:
Парадак
групы
роўны
n!
.
Азн.1:
Падстановы
наз.
незалежнымі, калі
.
Азн.2:
Няхай
- падстанова
з
k
элементаў
мноства
=
.
Падстанова
дзе
,
наз. цыклам даўжыні
k.
Азн.3:
Цыклы
(
)
і (
)
наз. незалежнымі ці неперасякальнымі,
калі
.
Незалежныя цыклы перастановачныя.
Тэарэма2:
Адвольная падстанова
раскладаецца ў здабытак незалежных
цыклаў даўжыні, больш за 1. Гэты расклад
адназначны з дакладнасцю да парадку
сумножніка.
Вынік1: Парадак падстановы роўны найменшаму супольнаму кратнаму даўжыняў незалежных цыклаў, якія ўваходзяць у расклад .
Азн.4: Цыкл даўжыні 2 наз. транспазіцыяй.
Вынік2: Кожная падстанова з раскладаецца ў здабытак транспазіцыяў.
Азн.5:
Функцыя
f(x1,x2,…,xn),
вызначаная на камутатыўным колцы, наз.
косасіметрычнай, калі r
f=-f
для адвольнай транспазіцыі r
.
Лема:
Няхай
.
Тады
.
Тэарэма3:
Няхай
,
– некаторы расклад
у здабытак транспазіцыяў. Тады цотнасць
ліку
k
цалкам вызначаецца падстановай
і не залежыць ад раскладу
.
Азн.6: Падстанова наз. цотнай, калі яна раскладацца ў здабытак цотнай колькасці транспазіцыяў, і няцотнай, калі яна раскладаецца ў здабытак няцотнай колькасці транспазіцыяў.
Вынік:
Усе
цотныя падстановы ступені
складаюць
падгрупу
групы
парадку
.
Група наз. зменназнакавай групай ступені n.
18.A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
Азн.1:
Няхай
G
і
- групы
з аперацыямі • і * адпаведна. Біекцыйнае
адлюстраванне
наз.
ізамарфізмам групы G
у
групу
,
калі для адвольных элементаў
.
(1)
Калі
існуе некаторы ізамарфізм
,
будзем
казаць, што група
ізаморфная
групе
і пісаць
.
Аперацыя
ў G
і
наз.
множаннем і замест (1) будзем пісаць:
.
Уласцівасці ізамарфізмаў групаў:
Для адвольнай групы G тоеснае адлюстраванне
– ізамарфізм;
Калі - ізамарфізм групаў, тады
– таксама ізамарфізм;
Калі ,
- ізамарфізмы групаў, тады
– таксама ізамарфізм.
З гэтых уласцівасцей вынікае, што дачыненне ізамарфізмаў ёсць дачыненне эквівалентнасці на мностве ўсіх групаў і таму мноства ўсіх групаў падзяляецца на неперасякальныя класы ізаморфных паміж сабой групай.
Азн.2: Ізамарфізм групы на сябе наз. аўтамарфізмам групы .
Тэарэма1: Aut G – група ў дачыненні да аперацыі множання аўтамарфізмаў.
Тэарэма2: 1) Адвольная бясконцая цыклічная група ізаморфная адытыўнай групе цэлых лікаў Z;
2) Адвольная канцоўная цыклічная група парадку n ізаморфная C(n) камплексных каранёў ступені n з 1.
Тэарэма3(Кэлі): Адвольная канцоўная група парадку n ізаморфная некаторай падгрупе сіметрычнай групы Sn.
Вынік: З дакладнасцю да ізамарфізму існуе толькі канцоўная колькасць групаў фіксаванага парадку n.
Прыклады:
1)
Разгледзім
групу
Z
у дачыненні да складання і групу цотных
лікаў – (2) і вызначым
адлюстраванне
:
відавочна
-
біекцыя.
Пакажам,
што
захоўвае аперацыю:
значыць
-
ізамарфізм
групаў
.
2)
Разгледзім адытыўную групу C
і адытыўную групу матрыцаў
.
Вызначым
адлюстраванне
:
-
ізамарфізм групаў.