![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.
- •2.A. Колца, поле. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці. Два крытэры падколца. Два крытэры падполя.
- •3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.
- •4.A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу.
- •8.A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў. Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
- •14.A. Група. Азначэнне, прыклады, уласцівасці. Два крытэры падгрупы.
- •15.A. Спараджальнае мноства (сістэма ўтваральных) падгрупы. Цыклічная група. Падгрупы цыклічнай групы.
- •16.A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.
- •18.A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •22.A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •24.A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.
- •25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
- •28.A. Тэарэмы Ойлера, Фэрма і Вільсана (без доказаў).
- •30.A. Тэарэма пра існаванне кораня (без доказу). Поле раскладу паліному.
- •32.A. Алгебрычныя і трансцэндэнтныя элементы. Поле алгебрычных элементаў. Алгебрычная замкнёнасць поля алгебрычных лікаў (без доказаў).
- •36.A. Асноўная тэарэма алгебры камплексных лікаў (без доказу).
3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.
Азн.1:
Няхай
n
N,
a,b
Z.
Будзем казаць, што a
параўнальны з b
па модулі n,
калі n
дзеліць (a-b),
г.зн. (a-b)
дзеліцца на n.
Запісваецца a
b(mod
n).
Уласцівасці парананняў:
;
2)
;
3)
;
;
Сцв.1:
Цэлыя лікі
a,b
Z,
к.і
т.к. яны маюць роўныя астачы пры дзяленні
на n.
Вызначым
на мностве
аперацыі
складання і множання формуламі:
Тэарэма 1: Мноства у дачыненні да аперацыяў (1) ёсць камутатыўнае колца з адзінкаю.
Колца наз. колцам рэштаў па модулі n.
Тэарэма
2:
абарачальны
ў
к.і
т.к.
узаемна простыя.
Вынік:
ёсць
поле к.і
т.к.
-
просты лік.
4.A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу.
Азн.1:
Падколца
I
колца
K
наз.
двухбаковым
ідэалам колца K,
калі:
.
Тэарэма
1(крытэр ідэалу): Непустое
падмноства
поле
з’яўл.
ідэалам колца K
к.і
т.к. яно задавальняе наступным умовам:
.
Тэарэма вынікае з азн. ідэалу і другога крытэру падколца.
Прыклады:
1) Няхай n фіксаваны цэлы лік, абазначым праз
;
2)
У адвольным колцы
:
(0)
,
.
Сцв.1:
Няхай
-
колца з адзінкай і I
змяшчае абарачальны элемент колца К,
тады
I=K.
Тэарэма2: У полі F адзінымі ідэаламі з’яўл. (0), F -трывіяльныя, а ўсе астатнія не трывіяльныя.
Азн.2: Камутатыўнае колца з 1 ≠0, у якім кожны ідэал галоўны, наз. колцам галоўных ідэалаў.
Тэарэма 3: Колца цэлых лікаў Z ёсць колца галоўных ідэалаў.
Тэарэма 4: Няхай F – адвольнае поле, колца паліномаў F[x] ёсць колца галоўных ідэалаў.
Тэарэма 5: Колца рэштаў з – колца галоўных ідэалаў
Сцв.2: Ідэал (n) колца Z максімальны ў Z к.і т.к. n – просты лік.
8.A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў. Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
Азн.1:
Няхай
K,
R
– колцы. Біекцыйнае адлюстраванне
наз. ізамарфізмам колца K
на колца R,
калі
,
.
Калі
існуе некаторы ізамарфізмам
,
будзем
казаць, што колца K
ізаморфнае
колцу R,
і
пісаць
.
Ізамарфізм колца K на сябе наз. аўтамарфізмам колца K.
Уласцівасці ізамарфізмаў колцаў:
Для адвольнага колца K тоеснае адлюстраванне
ёсць ізамарфізм, г.зн.
.
Калі
- ізамарфізм колца K на колца R, тады
– таксама ізамарфізм. , тады
.
Калі ,
– ізамарфізмы колцаў, тады
– ізамарфізм. ,
.
Прыклады:
Адлюстраванне
такое, што
– ізамарфізм.
Няхай – ізамарфізм колцаў, 1- адзінка колца K. Тады
- адзінка колца R.
Азн.2: Адлюстраванне наз. гомамарфізмам колцаў, калі
, .
Такім чынам, ізамарфізм –гэта біекцыйны гомамарфізмам.
Адвольны гомамарфізм колцаў ёсць ізамарфізм.
Прыклады:
Няхай K і R – адвольныя колцы, 0’ - нуль колца R.
Адлюстраванне
,
- гомамарфізм. Гэты гомамарфізм
наз.нулявым.
К – падколца колца R,
i(a)=a, a
- гомамарфізм колцаў, і - укладанне К у R.
Уласцівасці гомамарфізмаў колцаў:
Няхай – гомамарфізм колцаў, тады:
Калі 0 – нуль колца K, а 0’ - нуль колца R, тады
;
;
Калі
– падколца колца K, тады
– падколца колца K,
- вобраз мноства:
;
Калі
– падколца колца R, тады
– падколца колца K, - поўны правобраз
;
;
Калі
- гомамарфізм, тады:
- гомамарфізм.
Азн.3: Няхай : K→R гомарфізм 0’-нуль R, поўны правобраз нуля -1(0’)={аєК| (a) є 0’}= Ker наз. ядром .
Тэарэма1: Ядро гомамарфізму колцаў ёсць ідэал колца K.
Тэарэма2(пра
гомамарфізмы колцаў).
Няхай :
K→R
гомамарфізм колцаў тады Im
Ker.