31. Сформулируйте аксиому метода полной математической индукции.
1. Полная математическая индукция
Аксиома (принцип) математической индукция. Пусть для утверждения А(n) (т.е. в котором присутствует натуральное число n) выполняются два условия:
1) оно верно для n = 1;
2) из того, что оно верно для n = k, где k – любое натуральное число, следует, что оно верно и для следующего натурального числа n = k + 1.
Тогда утверждение А(n) верно для любого натурального числа n.
1 этап (базис индукции, начало индукции). Проверить, что утверждение А(n) верно при n = 1.
2 этап (индуктивное предположение). Предположить, что утверждение А(n) верно для произвольного натурального числа n = k , где k N.
3 этап (индуктивный переход). На основании предположения второго этапа доказать, что утверждение А(n) верно и для n = k + 1.
32. Какой метод рассуждений называется неполной индукцией?
1) Неполной индукцией называется метод рассуждений, при которых вывод делается на основании рассмотрения лишь некоторых частных примеров, не охватывающих все возможные случаи.
Этот метод не является доказательным и может быть использован только для выработки гипотез (предположений).
Пусть, например, нужно просуммировать выражение 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1). Замечая, что
1 = 12,
1 + 3 = 4 = 22,
1 + 3 + 5 = 9 = 32,
высказываем
гипотезу, что
= n2.Пока
полученная гипотеза не доказана, ее
нельзя считать истинным утверждением.
Мы доказали справедливость этой гипотезы
методом полной
математической индукции.
33. Какой метод рассуждений называется полной индукцией?
2) Полной индукцией называется метод рассуждений, при которых вывод делается на основании рассмотрения всех возможных случаев.
Часто метод полной индукции называют методом полного перебора вариантов. Когда вариантов – конечное число, он называется также методом конечного перебора.
Данный метод является строгим математическим методом. При его применении необходимо выработать такой алгоритм перебора, чтобы он обеспечил рассмотрение всех возможных вариантов.
34. Сформулируйте правило суммы для конечных непересекающихся множеств а и Булеанам множества а называется совакупность всех его подмножеств, включая пустое множество и само множество а.
Утверждение 1 (правило суммы). Если конечные множества А и В не пересекаются (А В ), то
│А
В│=
│А│+ │В│.
Очевидное утверждение: если на столе лежит 5 яблок и 7 груш, то всего этих фруктов на столе – 5 + 7, т.е. 12.
Очень удобна при проведении комбинаторных подсчетов следующая
Перефразировка утверждения 1. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b – n способами, причем любой выбор элемента а отличен от любого выбора элемента b, то выбрать или а или b можно m + n способами.
Замечание. Методом полной математической индукции утверждение 1 можно распространить на любое число попарно непересекающихся конечных множеств.
35. Сформулируйте правило суммы для конечных пересекающихся множеств А и Б.
Утверждение 2. Для любых конечных множеств А и В имеет место формула:
│А В│= │А│+ │В│–│А В│.
36. Сформулируйте правило произведения для конечных множеств А и Б.
Утверждение 3. Для любых конечных множеств А и В имеет место формула:
│А
В│=
│А│
│В│.
37. Закончите предложение: «Если элемент а можно выбрать n способами, а элемент b – m способами, то упорядоченную пару (a,b) можно составить ...».
Перефразировка утверждения 3. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b – n способами, то упорядоченную пару (а, b) можно составить mn способами.
38. Что называется перестановкой n-элементного множества? Чему равно число всех его перестановок?
39. Что называется размещением из m элементов n-элементного множества? Чему равно число таких его размещений?
(1) Размещением, по-другому, размещением без повторений, составленным из элементов конечного множества А, называются любое упорядоченное множество, образованное из его элементов.
40. Что называется сочетанием из m элементов n-элементного множества? Чему равно число таких его сочетаний?
Сочетанием, по-другому, сочетанием без повторений, составленной из элементов конечного множества А, называются любое множество, образованное из его элементов, то есть любое его подмножество. Пустое подмножество множества А также считают сочетанием.
Итак, сочетание, сочетание без повторений, множество, подмножество – суть одинаковые объекты.
41.
Запишите разложение бинома Ньютона (а
+ в)n.
(а
+ в)m
=
.
Вычислим числа
сочетаний
при m
= 1, 2, 3:
при
m
= 1 –
= 1,
= 1;
при
m
= 2
–
= 1,
= 2,
= 1;
при
m
= 3 –
= 1,
= 3,
= 3;
= 1.
(В
самом деле,
=
=
1,
=
=
1 и
т.д.)Перепишем теперь известные формулы
школьного курса алгебры в виде:
(а + в)1 = а + в;
(а + в)2 = а2 + ав + в2;
(а + в)3 = а3 + а2в + ав2+ в3.
Оказывается в общем случае имеет место формула:
(а
+ в)m
=
аm
+
аm
– 1в +
аm
– 2в2+
… +
aвm
– 1 +
вm
(
N).
42. Запишите формулу i-го члена разложения бинома Ньютона (а + в)n: Тi = ...
Выражение
Ti
=
(i
= 0, 1, 2, … , m)
(3)
называется i-тым членом разложения бинома Ньютона.