Любой элемент х, принадлежащий классу эквивалентности [a], называется представителем этого класса.

Устное упражнение. Пусть А – множество студентов группы 1. Это конечное множество, мощность которого равна числу студентов группы. Рассмотрим бинарное отношение Р в А: студент х находится в отношении Р со студентом у, если он имеет тот же балл по математике в аттестате об окончании школы, что и студент у. Во-первых, Р – бинарное отношение в А (поскольку задает правило, позволяющее формировать упорядоченные пары студентов из А; отношение будет полным, если все студенты имеют одинаковый балл, пустым, если все студенты не были аттестованы по математике в школе). Во-вторых, очевидно, Р – отношение эквивалентности в А.

9. Что называется фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности ~ ? Сформулируйте определение и приведите пример класса эквивалентности элемента множества, относительно заданного в нем отношения эквивалентности.

Пусть – отношение эквивалентности в множестве А. Множество всех классов эквивалентности элементов множества А называется фактор-множеством множества А по этому отношению эквивалентности:

= { [a] | а А}.

Если отношение эквивалентности обозначено, например, через Р, то соответствующее фактор-множество обозначается через А / Р.

Теперь сформулированную только что теорему можно перефразировать по-другому:

Перефразировка теоремы. Всякое фактор-множество является разбиением множества А, и, наоборот, каждое разбиение множества А совпадает с фактор-множеством множества А по некоторому отношению эквивалентности .

Грубо говоря, фактор-множество и разбиение – это одно и то же.

Устное упражнение. Пусть А – множество студентов группы 2. Рассмотрим уже знакомое бинарное отношение Р в А: студент х находится в отношении Р со студентом у, если он имеет тот же балл по математике в аттестате об окончании школы, что и студент у. Согласно итогам анкетирования, в аттестатах студентов этой группы представлены следующие баллы по математике – 5, 6, 7, 8, 9. Их – пять. Т.о., фактор-множество А / Р

состоит из пяти элементов:

А / Р = {[5], [6], [7], [8], [9]},

где [5] – класс эквивалентности, состоящий из студентов, имеющих оценку 5 (кстати, он одноэлементный) т.д.

Можно сказать и по-другому: совокупность {[5], [6], [7], [8], [9]} – есть разбиение множества А, порожденное отношением эквивалентности Р.

10. Что называется разбиением множества а? Сформулируйте определение и приведите пример разбиения множества.

Разбиением непустого множества А называется совокупность его попарно не пересекающихся непустых подмножеств, объединение которых совпадает с множеством А.

Каждое такое подмножество называется классом разбиения.

Разбиения бывают конечные и бесконечные.

Согласно данному определению, конечное разбиение {A₁, A₂, … , A_n} множества А удовлетворяет условиям:

1) A_i ⊂ A, i = 1,2, … , n;

2) A_i A_j = , если i j;

3) = A.

Пример 1. Отношение сонаправленности (⇈) позволяет разбить множество ориентированных лучей на плоскости (в пространстве) на совокупности лучей разных направлений.

Пример 2. Отношение подобия (∞) позволяет разбить множество фигур на совокупности фигур одинаковой формы.

11. Что называется отображением (функцией), заданной на множестве А и принимающей значения из множества В? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Пусть Х, У – непустые множества. Отображением, заданным на множестве Х и принимающим значения из множества У, называется правило (соответствие), по которому каждому элементу множества Х ставится единственный элемент множества У.

12. Что называется множеством значений функции f, заданной на множестве А и принимающей значения из множества В? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Если А и В - числовые мн-ва, то число х наз. независимой переменной или аргументом, а число у=f(x)-зависимой переменной. Мн-во f(A)={f(x)|x'принадлежит'А} называется множеством значений функции f и обозначают через E(f). Таким образом E(f)=f(A)

13. Что называется графиком функции f, заданной на множестве А и принимающей значения из множества В? Сформулируйте определение и приведите пример графика функции.

Графиком функции f:A->B наз. мн-во Г={(x,F(x))|x'принадлежит'A}

14. Что называется образом подмножества А множества Y при отображении

f: Х → Y? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Образом подмножества А множества Х (множества А) при отображении f называется множество f(А), состоящее из образов всех элементов множества А при отображении f:

f(А) = {f(x)| х А}.

По определению принимают, что f( ) = Считают также, что f( ) = f( ) (образ одноэлементного множества и элемента х при отображении f суть одно и то же).

15. Что называется прообразом подмножества А множества Х при отображении

f: Х → Y? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Прообразом подмножества С множества У(множества С) при отображении f называется множество f^–1(С), состоящее из тех элементов множества Х, образы которых при отображении f содержатся в множестве С:

f^–1(С) = {х Х | f(x) С}.

По определению принимают, что f^–1 ( ) = .

16. Закончите определение «Отображение f: Х → Y называется сюръективным, если ...». Проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Отображение f: Х → У называется сюръективным или сюръекцией, если ее множество значений совпадает с множеством прибытия, т.е. f(X) = У.

Другими словами, если всякий элемент у из множества У имеет непустой прообраз f^–1 ( ) или, что то же самое, для всякого элемента у из множества У существует такой элемент х Х, что f(x) = у.

Сюръекцию называют также «отображением на».

17. Закончите определение «Отображение f: Х → Y называется инъективным, если ...». Проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Отображение f: Х → У называется инъективным или инъекцией, если разным элементам х₁ и х₂ из множества Х соответствуют разные элементы f(х₁) и f(х₂) из множества У (по-другому, если различные элементы из области определения имеют различные образы).

То же самое кратко: (х₁ х₂, х₁, х₂ Х) ⇒ (f(х₁) f(х₂)).

18. Закончите определение «Отображение f: Х → Y называется биективным, если ...». Проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Отображение f: Х → У называется биективным или биекцией, если оно одновременно сюръективное и инъективное.

19. Закончите определение «Композицией отображений f: Х → Y и g: Y → Z называется отображение ...». Проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Композицией отображений f: Х → У и g: Y → Z называется отображение

gf: Х → Z, x ↦ (gf)(x), где (gf)(x) = g(f(x)). Другое обозначение композиции отображений f и g: g f. В обоих случаях произносят: «отображение эфжэ».

20. Закончите определение «Обратным к биективному отображению f: Х → Y называется отображение ...». Проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

Обратным к биективному отображению f: Х У называется отображение

f^–1: Y X, y → f^–1(y).

Другими словами, обратное к биективному отображению f: Х У отображение, ставит в соответствие каждому элементу y из множества Y его прообраз х = f^–1(y) в множестве Х.

Определение корректно, так как если f – биекция, то любой элемент у Y имеет единственный прообраз х = f^–1(y).

21. Сформулируйте правило для нахождения обратной функции обратимой числовой функции. Проиллюстрируйте его на примере.

Правило нахождения функции, обратной к числовой функции

Итак, пусть дана обратимая числовая функция у = f(х). Чтобы найти обратную к ней функцию

f^–1: E(f) → D(f), х = f^–1(y),

решают уравнение у = f(х) относительно х.

Затем в полученном равенстве заменяют х на у, а у – на х, то есть, записывают обратную функцию в виде

у = f^–1(х).

Пример 1. Функция у = х³ – монотонно возрастающая. Таким образом, она представляет биективное отображение

у: R → R, у(x) = х³,

и, согласно теореме, является обратимой.

Найдем обратную к ней функцию, используя сформулированное правило:

1) решая уравнение у = х³ относительно х, получаем: х =

2) переобозначая х на у, а у – на х, записываем обратную функцию в виде у =

Она представляет собой отображение

у: R → R, у(x) =

Принято одинаковыми буквами обозначать аргументы и зависимые переменные числовых функций. Тогда графики этих функций, построенные на одной координатной плоскости Оху, как уже отмечалось, будут симметричны относительно прямой у = х:

22. Сформулируйте определение функции y = arcsin x. Постройте эскиз ее графика, укажите D(y) и E(y).

Функцией y = arcsin x называют функцию, обратную к сужению (ограничению) функции у = sin x на отрезок [ – ;

y = arcsin D(arcsin) = [– ; E(arcsin) = [– ;

23. Сформулируйте определение функции y = arccos x. Постройте эскиз ее графика, укажите D(y) и E(y).

Так, другие обратные тригонометрические функции y = arccos x, y = arctg x,

y = arcctg x определяются как функции, обратные к сужениям соответствующих тригонометрических функций – у = (cos) (x), у = (tg) (x),

у = (ctg) (x).

Нетрудно видеть, что все эти функции монотонны и, следовательно, биективно отображают D(y) на E(y), то есть обратимы.

Графики обратных к ним функций y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, таким образом, симметричны графикам указанных сужений относительно прямой у = х и имеют вид:

y = arccos x D(arccos) = [– ; E(arccos)= [0;

24. Сформулируйте определение функции y = arctg x.. Постройте эскиз ее графика, укажите D(y) и E(y).

y = arctg x D(arctg) = R ,E(arctg) = (– ;

25. Сформулируйте определение функции y = y = arcctg x. Постройте эскиз ее графика, укажите D(y) и E(y).

y = arcctg x D(arcctg) = R, E(arcctg) = (0;