- •2.Вычисление двойного нтеграла в декартовых координатах.
- •5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7. Механические приложения двойного интеграла.
- •8. Определение и свойства тройного интеграла.
- •4)Если в области r,то ;
- •5)Если в области r и , то ;
- •6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
- •10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •14.Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •16.Приложения кри(1-2)
- •17.Поверхностный интеграл 1-го рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода.
- •19.Формула Стокса
- •20. Пови-2 по замкнутым поверхностям. Формула Астроградского.
- •21.Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •22.Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •23. Понятие векторного поля. Векторные линии векторного поля.
- •24.Циркуляция и ротор векторного поля.
- •25.Поток и дивергенция векторного поля.
- •26.Оператор Гамильтона и некоторые его применения.
- •27.Потенциальное,соленоидальное и гармоническое векторные поля.
- •28.Понятие числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов.
- •29.Необходимый признак сходимости ряда.
- •30.Интегральный признак Коши.
- •31.Признак сравнения рядов с положительными членами.
- •32.Признак Даламбера.
- •33.Радикальный признак Коши
- •34.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
- •37.Степенные ряды. Область сходимости.
- •38.Свойства степенных рядов.
- •39.Ряды Тейлора и Маклорена.
16.Приложения кри(1-2)
Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода
Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения в математике и механике.
Длина кривой
Длина кривой , плоской или пространственной линии, вычисляется по следующей формуле .
Площадь цилиндрической поверхности
Масса кривой
Если плотность материальной кривой (провод, цепь, трос, …), то ее масса вычисляется по формуле:
.
Координаты центра масс
Координаты центра масс материальной дуги , имеющей плотность , определяются по формулам:
; ; .
Моменты инерции
Моменты инерции относительно начала координат , осей координат и , и координатных плоскостей и материальной дуги , имеющей плотность , определяются по формулам:
;
, ,
, , .
17.Поверхностный интеграл 1-го рода
Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.
(Сам рисунок делай-как на лекции строили область Oxyz и разбивали)Разобьем поверхность на элементарных площадок , площади которых обозначим через , а диаметры – через . На каждой площадке выберем произвольную точку и составим интегральную сумму для функции по поверхности :
Пусть в точках некоторой гладкой поверхности пространства определена непрерывная функция .
.Если при и интегральная сумма имеет предел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции по поверхности и обозначается .
Таким образом, по определению,
.
Основные свойства поверхностного интеграла I рода
1. , где .
2. .
3. Если поверхность разбить на части и такие, что , а пересечение и состоит лишь из границы, их разделяющей, то
.
4. Если на поверхности функции и удовлетворяют неравенству , то и
.
5.Если , то , где площадь поверхности
6. (Теорема о среднем) Если функция непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует такая точка , что
.
жидкости, протекающей через поверхность , то произведение равно количеству жидкости, протекающей через площадку за единицу времени в направлении вектора .
Выражение представляет собой общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность в положительном направлении, если под вектором подразумевать вектор скорости течения жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл второго рода называется потоком векторного поля через поверхность .
Отметим, что если замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается , по внутренней .
Свойства ПОВИ-2
Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.
Постоянный множитель можно вынести за знак поверхностного интеграла.
Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.
Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности равен сумме интегралов по ее частям и (аддитивное свойство), если и пересекаются лишь по границе, их разделяющей.
Если , и цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям , то
.