- •2.Вычисление двойного нтеграла в декартовых координатах.
- •5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7. Механические приложения двойного интеграла.
- •8. Определение и свойства тройного интеграла.
- •4)Если в области r,то ;
- •5)Если в области r и , то ;
- •6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
- •10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •14.Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •16.Приложения кри(1-2)
- •17.Поверхностный интеграл 1-го рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода.
- •19.Формула Стокса
- •20. Пови-2 по замкнутым поверхностям. Формула Астроградского.
- •21.Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •22.Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •23. Понятие векторного поля. Векторные линии векторного поля.
- •24.Циркуляция и ротор векторного поля.
- •25.Поток и дивергенция векторного поля.
- •26.Оператор Гамильтона и некоторые его применения.
- •27.Потенциальное,соленоидальное и гармоническое векторные поля.
- •28.Понятие числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов.
- •29.Необходимый признак сходимости ряда.
- •30.Интегральный признак Коши.
- •31.Признак сравнения рядов с положительными членами.
- •32.Признак Даламбера.
- •33.Радикальный признак Коши
- •34.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
- •37.Степенные ряды. Область сходимости.
- •38.Свойства степенных рядов.
- •39.Ряды Тейлора и Маклорена.
30.Интегральный признак Коши.
Теорема 5.7 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд
,
члены которого являются значениями непрерывной положительной функции при целых значениях аргумента :
,
и пусть монотонно убывает на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если несобственный интеграл расходится.Надо отметить, что вместо интеграла можно брать интеграл , где . Отбрасывание первых членов ряда, как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.
31.Признак сравнения рядов с положительными членами.
Пусть даны два знакоположительных ряда:
и
.Тогда, если, начиная с некоторого места (n > N), выполняется неравенство:
,то из сходимости ряда следует сходимость .Или же, если ряд расходится, то расходится и .
Также этот признак удобно записывть в виде отношений:
Если для членов строго положительных рядов и , начиная с некоторого места (n > N), выполняется неравенство: ,
то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .
Передельный признак сравнения
Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.
Если и есть строго положительные ряды и
,то при из сходимости следует сходимость , а при из расходимости следует расходимость .
Вариант 2
Сходимость или расходимость числовых рядов с положительными членами часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.
Теорема 5.3. Пусть даны два ряда с положительными членами:
и
Если для всех выполняется неравенство , то
из сходимости ряда (5.9) следует сходимость ряда (5.8);
из расходимости ряда (5.8) следует расходимость ряда (5.9).
Надо отметить, что теорема 5.3 справедлива и в том случае, когда неравенство выполняется не для всех членов рядов (5.8) и (5.9), а начиная с некоторого номера . Это вытекает из свойства 3 числовых рядов.
Теорема 5.4 (предельный признак сравнения). Пусть даны два ряда (5.8) и (5.9) с положительными членами. Если существует конечный, отличный от нуля, предел
где , то ряды (5.8) и (5.9) сходятся или расходятся одновременно.
32.Признак Даламбера.
В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717 – 1783, французский математик) позволяет часто решать вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самими рядами.
Теорема 5.5 (признак Даламбера). Пусть дан ряд (5.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел
.
Тогда:
при ряд сходится;
при ряд расходится.
При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.
Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида или .