5 .Определение направления главных напряжений

Вырежем из напряженного тела произвольной бесконечно малый параллелепипед ( рис. 3.1 ). На гранях параллелепипеда действуют нормальные и касательные напряжения. Направление нормальных напряжений совпадает с направлением внешней нормали . Касательные напряжения разложим на составляющие, параллельные осям. На невидимых гранях элемента возникают такие же напряжения, только противоположно направленные. Напряжения на гранях параллелепипеда

являются компонента ми тензора напряжений – Т.

Параллелепипед находится в равновесии, выполняются все уравнения равновесия, в частности, М_х=0 . _zydxdydz -_yzdzdxdy=0. Откуда: _zy=_yz. Аналогично _zx=_xz, _xy=_yx. Эти выражения представляют собой закон парности касательных напряжений. Из закона парности касательных напряжений следует, что на гранях элемента имеем не девять, а шесть независимых компонентов тензора напряжений. При вращении параллелепипеда величины напряжений меняются. Можно добиться такого положения параллелепипеда, при котором все касательные напряжения обратятся в ноль. Грани параллелепипеда, находящиеся в этом положении, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на них, называются главными напряжениями, которые обозначаются ₁, ₂ и ₃, причем ₁₂₃.

Если два главных напряжения равны нулю, то напряженное состояние называется линейным или простым. При этом, если ₁0, то это растяжение, а если ₃0, то это сжатие. Если одно главное напряжение равно нулю, то напряженное состояние называется плоским, если все главные напряжения не равны нулю, то объемным. Плоское и объемное напряженные состояния называются сложными.

8. Внутренние силовые факторы ,правила знаков представляют собой некоторый эквивалент распределённых по всему сечению с определённой интенсивностью внутренних сил. Эта интенсивность в каждой точке имеет собственное значение.Внутренние силовые факторы : N-продольная сила, Qx,Qy-поперечные силы, Mx,My- изгибающие моменты, Mz-крутящий момент.Связь напряжений с внутренними силовыми факторами может быть описана следующими соотношениями: .

Правила знаков для внутр. усилий: 1) продольные силы «+», если они растягивающие, 2) Поперечная сила «+», если она стремится повернуть выделенный из тела элемент по ходу час. Стрелки, 3) Изгибающ. Моменты считаем «+», если он стремится растягивать нижние волокна тела, 4) Крутящ. Момент «+», если глядя на поперечн. Сеч. Со стороны внешн. Нормали видим момент, направленный против хода час. Стрелки.

9. Перемещения и деформации.Угловая и линейные деформации принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.        Под действием внешних сил твердые тела изменяют свою гео­метрическую форму, а точки тела неодинаково перемещаются в пространстве. Вектор , имеющий свое начало в точке А недефор­мированного состояния, а конец в т.  деформированного состоя­ния, называется вектором полного перемещения т. А (рис. 1.5, а). Его проекции на оси xyz называются осевыми перемещениями и обозначаются u, v и w, соответственно.       Для того, чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела, рассмотрим точки А и В его недеформиро­ванного состояния, расположенные на расстоянии S друг от друга.Пусть в результате изменения формы тела эти точки перемес­тились в положение А и В, соответственно, а расстояние между ними увеличилось на величину S и составило S + S. Величина          называется линейной деформацией в точке А по направлению АВ. Если рассматривать деформации по направлениям координатных осей xyz, то в обозначения соответствующих проекций линейной деформации вводятся индексы _x , _y , _z .     Линейные деформации _x , _y , _z характеризуют изменения объема тела в процессе деформирования, а формоизменения тела  угловыми деформациями. Для их определения рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном состоянии двумя отрез­ками ОD и ОС (рис. 1.5, б). При действии внешних сил указанный угол DOC изменится и примет новое значение DOC. Величина    ( DOC   DOC) =   называется угловой деформацией, или сдвигом в точке О в плос­кости СОD. Относительно координатных осей деформации сдвига обозначаются _xy , _xz , _yz .            Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям в данной точке образует деформиро­ванное состояние в точке.Системы, для которых соблюдается условие пропорционально­сти между перемещениями и внешними силами, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.     В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе прило­жено несколько сил, то можно определить внутренние силы, на­пряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдель­ности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности.

10. Геометрические характеристики поперечных сечений бруса Геометрич. Хар-кой является площадь. Если представить сечение, состоящее из бесконечного кол-ва элементарных площадок DA, то Sсеч=. Этой хар-кой поперечного сеч. Пользуются при расчёте на плотность, растяж., сжатие.Статические моменты сечения.

рассмотрим два следующих интегральных выражения: (3.1), где нижний индекс у знака интеграла указывает на то, что интегри­рование ведется по всей площади сечения F. Каждый из этих инте­гралов представляет собой сумму произведений элементарных пло­щадок dF на расстояние до соответствующей оси (x или y). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси x, а второй  относительно оси y.При выполнении практических расчетов важно знать, как меняются статические моменты сечения при параллельном переносе координатных осей (рис 3.2).Очевидно, что x = x₁ + a; y = y₁ + b.    (3.2)      Подставляя (3.2) в (3.1) получим:    (3.3)      Величины а и b можно подобрать (причем единственным обра­зом) так, чтобы выполнялись следующие равенства: bF = S_x ;     aF = S_y ,  (3.4), тогда статические моменты .

   Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка С (x_C , y_C) пересечения централь­ных осей называется центром тяжести сечения в системе координат (x, y) и определяется из (3.4):   (3.5).Далее предположим, что брус имеет составное сечение (рис. 3.3) с общей пло­щадью F. Обозначим через F_k (k = 1, 2, 3,..., n) площадь kой области, принадлежащей к составному сечению бруса. Тогда выраже­ние (3.1) можно преобразовать в следующем виде:(3.6) где  статические моменты kтой области относительно осей x и y. Следовательно, статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.